高中数学竞赛专题讲座——集合与函数

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1、蓝天家教网http://www.ltjiajiao.com伴您快乐成长竞赛试题选讲——集合与函数一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．（2006陕西赛区预赛）a,b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则a+b的值等于（）A．-1B．0C．1D．2．（2006天津）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（）A．　　B．C．D．3．（2006陕西赛区预赛）若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．4．（2006陕西赛区预赛）若函数满足，则的解析式是（）A．B．C．D．5．（2006年江苏）

2、函数的图象是（）ABCD6．（2006陕西赛区预赛）已知实系数一元二次方程的两个实根为且则的取值范围是（）A．B．C．D．蓝天家教网http://www.ltjiajiao.com伴您快乐成长7．（2006年江苏）设是定义在上单调递减的奇函数．若，，则（）A．B．C．D．8．（2006吉林预赛）如果集合A={y

3、y=－x2+1，x∈R+}，B={y

4、y=－x+1，x∈R}，则A与B的交集是（）A．(0，1)或(1，1)B．{(0，1)，(1，1)}C．{0，1}D．(－∞，1)9．（2006安徽初赛）已知的小数部分为a，则的小数部分

5、为（）A．的小数部分B．的小数部分C．的小数部分D．以上都不正确10．（2006吉林预赛）若函数f(x)=x3－6bx+3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是（）A．(0，1)B．(－∞，1)C．(0，+∞)D．(0，0.5)11．（2006年南昌市）设集合,若,则中元素个数为（）A．0B．1C．2D．至少3个12．（2006年南昌市）设,记,若则（）A．B．-C．D．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．（2006安徽初赛）已知实数x、y满足，则．2．（2006天津）已知集合，且，则集合、、所有可能的情况有500种

6、．3．（2006年南昌市）设＝{1,2,…,100},是的子集,且中至少含有一个立方数,则这种子集的个数是____________.4．（2006年江苏）集合，，则集合的所有元素之和为．5．（2006年南昌市）若曲线与直线恰有三个公共点,则的值为___蓝天家教网http://www.ltjiajiao.com伴您快乐成长6．（2006年上海）已知函数R→R满足：对任意R，都有，则所有满足条件的函数f为．7．（2006年上海）对于任意实数a，b，不等式恒成立，则常数C的最大值是．（注：表示x，y，z中的最大者．）8．（2006年上海）

7、设，，则满足条件的所有实数a，b的值分别为．1,3,5三、解答题（每小题20分，共60分）1．（2006年江苏）设集合，．若，求实数的取值范围．1,3,52．(集训试题)已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2；（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],

8、f(x)

9、≤1的充要条件是：b-1≤a≤2；（3）当0

10、f(x)

11、≤1的充要条件。3．(06重庆卷)已知定义域为R的函数满足（I）若，求;又若，求;（II）设有且仅有一个实数，

12、使得，求函数的解析表达式.蓝天家教网http://www.ltjiajiao.com伴您快乐成长参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）CDDBAADBDDDCB二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．15；2．500；3．;4．;5．无解;6．;7．1003;8．，b＝0;三、解答题（每小题20分，共60分）1．解：，．当时，，由得；当时，，由得；当时，，与不符．综上所说，．2．解：（1）证：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-)2+，∴f()=≤1，∵a>0,b>0,∴a≤2。（2）证：（必

13、要性），对任意x∈[0,1]，

14、f(x)

15、≤1-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。对任意x∈[0,1]，

16、f(x)

17、≤1f(x)≤1，因为b>1，可推出f()≤1。即a·-≤1，∴a≤2，所以b-1≤a≤2。（充分性）：因b>1,a≥b-1，对任意x∈[0,1]，可以推出：ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1，即：ax-bx2≥-1；因为b>1，a≤2，对任意x∈[0,1]，可推出ax-bx2≤2-bx2≤1，即ax-bx2≤1，∴-1≤f(x)≤1。综上，当b>1时，对任意x∈[0,1],

18、

19、f(x)

20、≤1的充要条件是：b-1≤a≤2。（3）解：因为a>0,0