ssp第3章倒格子布里渊110827-p

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1、第三章倒格子与布里渊区1目录3.1引入倒格子的意义3.2倒格子的定义3.3倒格子的性质3.4布里渊区3.5晶体的X射线衍射23.1引入倒格子的物理意义描述固体的周期性结构中的微观粒子的物理行为可以利用二种类型的格子。一种是正格子，即，布拉菲格子，是周期性结构在坐标空间的描述；另一种是倒格子，它是周期性结构在波矢空间(k空间)的描述。由坐标空间变换到波矢空间更有利于表达周期性结构中微粒的物理行为的特征。在本课程后续内容中有很多例子，如：晶体X射线衍射，晶体原子振动，晶体中电子能量。初学倒格子概念比较抽象和困难，但倒格子概念是深入学习固体物理学的不

2、能缺少的必要工具。3设，布拉菲格子基矢为a1,a2,a3，将由矢量决定的格子，称为正格子，将满足下述关系：的b1,b2,b3，定义为倒格子基矢，将由决定的格子，称为Rl的倒格子。3.2倒格子的定义3.2.1倒格子定义之一4根据以上定义，每个倒格子基矢必与两个正格子基矢正交，显然，倒格子基矢，也即倒格矢的量纲是[长度]-1，与波矢的量纲一致。3.2倒格子的定义3.2.2倒格子定义之二如：？应有：由此，可以直接定义倒格子基矢为：且有：5采用波函数定义倒格子设有以a1,a2,a3为基矢的布拉菲格子并有平面波。定义，具有给定布拉菲格子周期性的那些平面波

3、，其波矢Kh所代表点的集合称为Rl的倒格子。其数学表达为，如有对于任何r和Rl成立，那么Kh决定的格子就是布拉菲格子Rl的倒格子。3.2倒格子的定义3.2.3倒格子定义之三6其中b1,b2,b3由确定，则以上条件成立。验证：可以验证，当波矢Kh取为倒格子定义之三验证由以上定义，要求Kh满足，3.2倒格子的定义这是因为，73.3倒格子的性质3.3.1倒格子原胞体积*与正格子原胞体积的关系可以证明，分解，83.3.2倒格子的倒格子是原布拉菲格子按倒格子基矢定义构造基矢c1,c2,c3，可以证明ci=ai，i=1,2,3。Rl，Kh所代表点的集合

4、都是布拉菲格子，且互为正倒格子。事实上在中Rl，Kh地位全同。3.3倒格子的性质93.3.3晶体中物理量的傅里叶变换关系设，晶体任一r处有物理量(r)，由晶格的周期性，应有(r)=(r+Rl)，Rl为任意正格矢，周期性函数可作傅里叶级数展开如下：即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系；正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间；正格子和倒格子互为傅氏变换。F(Kh)是物理量(r)在傅氏空间的表示形式3.3倒格子的性质100a1a3a23.3.4倒格矢与正格子中晶面系(h1h2h3)正交因为已知，晶面系(h1h2h3)中最

5、靠近原点的晶面ABC在基矢a1,a2,a3上的截距分别为a1/h1,a2/h2,a3/h3，如下图，Gh1h2h3为晶面ABC的法线，a2/h2a1/h1a3/h3CBAGh1h2h33.3倒格子的性质113.3.5倒格矢的长度是晶面系(h1h2h3)面间距的2倍0a1a3a2CBAa1/h1a3/h3a2/h2Gh1h2h33.3倒格子的性质123.4布里渊区3.4.1布里渊区定义定义：在倒格子中，以某一格点为坐标原点，作所有倒格矢的垂直平分面，倒格子空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称为布里渊区。第一布里渊区：最靠近原点

6、的平面所围的区域。第二布里渊区：第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围的区域。第三布里渊区示意。第n个布里渊区是从原点出发，跨过(n-1)个垂直平分面达到的所有点的集合。133.4.2布里渊区界面方程令，Kh为倒格矢，如下图，A为Kh的垂直平分面k为倒空间的矢量则，A上所有点都应满足k0Khk’证明：由图可见，3.4布里渊区A144、布里渊区的形状完全由晶体布拉菲格子决定(倒格矢由正格矢定义)，所以不管晶体的基元代表什么，只要布拉菲格子相同，布里渊区形状就相同。5、简约布里渊区----第一布里渊区3.4.3布里渊区性质1、各布里渊区的形状都关于原

7、点对称。2、各布里渊区都可通过平移倒格矢到达第一布里渊区，且与之完全重合。3、每个布里渊区的体积都相等，且等于倒格子原胞体积。3.4布里渊区G153.4.4面心立方(FCC)的第一布里渊区可见FCC倒格子是一个边长为4/a的BCC格子。倒格子原点最近邻有八个格点。所以FCC晶格第一布里渊区是一个截顶十四面体。3.4布里渊区163.4.5体心立方(BCC)的第一布里渊区可见BCC倒格子是一个边长为4/a的FCC格子。倒格子原点最近邻有十二个格点。所以BCC晶格第一布里渊区是一个正十二面体。3.4布里渊区173.5晶体的X射线衍射引言X射线衍射

8、是研究晶体结构的最重要的手段之一。本小节讨论X射线衍射，主要是作为倒格子的应用，特别是布里渊区的应用的例子。我们将证明，布里渊区边界是满足晶体衍射极大