病毒传播sis模型研究1

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1、摘要问题重述病毒传播问题的研究由来已久，而一再的病毒流行使得这一领域长期以来吸引着人们的注意。在对病毒传播过程的描述各种模型中，“易感－感染－易感”（SIS）模型是研究者经常的选择。关于SIS模型，可以简单的描述为：一个易感的个体在和一个具有传染性的个体的接触中，在单位时间以一定的概率（β）被感染，同时，已感染的个体以概率（γ）被治愈又重新成为健康（易感）的个体。实际中大量的问题可以利用网络（图）进行描述，比如在传染病问题的描述中，个体（人、动物、计算机等）可以看作网络的节点，当个体之间有可以导致病毒传播的接触时在两个个体之间连边。比如，对于接触性传染病，个体存在两种状态，健康

2、的（易感的）和已感染的；将这些个体作为网络的节点，由于两个个体之间的亲密接触可能导致病毒的传播，因此可在两者之间进行连边。一个个体所接触的其它个体数量称为该节点的度（边数）。所谓二部网络（图），是网络中的节点可分成两类（比如男性和女性，雄性和雌性等），边仅仅存在于两类节点之间。在经典的传染病学模型中，总是假定病毒赖以传播的网络具有匀质性，即网络中节点有基本相同的度，但一些研究表明，这一假设远远背离实际情况。因此，发现实际网络的一些特性，并研究这样的网络上的病毒传播问题具有理论和实际意义。本题我们主要研究二部网络上的病毒传播问题，根据附件提供的一个二部网络（由10000个A类节点

3、和10000个B类节点构成）的节点度的数据，完成以下任务：1．根据“附件”提供的数据data.xls，选择适当的坐标，作出节点连接度和其出现频率的图形，观察这种类型的连接度数据大致服从什么分布？2．生成上述网络，可以采用如下的机制：先生成一个小型的二部图，随后在A类中加入一个新节点并向B类中的节点连边，该边指向B类中号节点的概率正比于号节点当前的连接度，而后在B类中产生新节点，以同样的方式向A类连边，当这两个步骤进行足够多次之后即可得到满足数据文件特点的网络。根据这里所提供的生成机制，发现节点连接度分布的表达式。3．在这类网络上考虑“易感－感染－易感”（SIS）模型，得到较平稳

4、时期的得病数量以及A类和B类的得病比例。(参数γ＝0.1,考虑到两类个体的感染率可以不同，分析中假定A类个体的感染率为B个体感染率的2倍，即=2，并分别取B类个体的感染率=0.01,0.02,0.03)。由于考虑PC机的计算速度，模拟时网络规模不要太大，可选择500＋500的二部网络。4．对我们的模型进行理论的分析，看看是否和我们的模拟结果一致。问题分析问题背景的分析：随着卫生设施的改善，医疗水平的提高以及人类文明的不断改善，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是，一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人们袭来。20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒突袭人

5、间，至今仍在蔓延；随后SAS病毒、H1N1病毒广泛传播，给人们的生命财产带来极大的危险，一度引起了人们的恐慌。但病毒传播问题的研究由来已久，而一再的病毒流行使得这一领域长期以来吸引着人们的注意。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是人们关心的话题。不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，但这里我们不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播特点，而只是按照一般的传播机理建立数学模型。对于问题一：选择适当的坐标，做出节点连接数和其出现频率的图形。该题只需要我们对附件中的数据进行一定程度的处理，得到节点连接

6、度与其出现频率的关系。对于问题二：需要从一个小型的二部图出发，按照题目中要求的机制不断的进行推测。先在A类中加入新的节点，按照一定的概率连接到B类中的号节点；再从B类节点中出发，连接到A类中的节点。通过不断地重复这个步骤，找出节点连接度分布的表达式。对于问题三：利用问题二的产生机制，在A类中加入新的节点，先判断它是否患病，再判断与之相连的B类节点是否患病，在相连的基础上，判断它们能否能够传染。再从B类节点出发，连接到A类中的节点。通过不断地重复这个步骤，得到较平稳时期的得病数量以及A类和B类的得病比例。对于问题四：需要对自己的模型进行理论的分析，然后和问题三中计算机模拟出来的数

7、据进行比较，判断计算机模型的结果与理论之间的差距。基本假设假设一：假设人在感染病毒后，可能被治愈，但不会死亡。假设二：二部网络是度不相关的。假设三：一个节点的感染密度仅仅是该节点度的函数。假设四：问题二和问题三的随机机理是符合实际的。假设五：问题三中的病人数可以由电脑随机定。符号定义、A类中第号节点的连接度B类中第号节点的连接度、A类中第号节点出现的概率B类中第号节点出现的概率治愈率A个体的被传染率B个体的被传染率具有k个连接度的A类个体的感染密度具有k个连接度的B类个体的感染密度节点连接度