偏微分方程数值解

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1、第一章概述1．1偏微分方程工具箱的功能偏微分方程工具箱(PDEToolbox)提供了研究和求解空间二维偏微分方程问题的一个强大而又灵活实用的环境。PDEToolbox的功能包括：(1)设置PDE(偏微分方程)定解问题，即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式和系数；(2)用有限元法(FEM)求解PDE数值解；(3)解的可视化。无论是高级研究人员还是初学者，在使用PDEToo1box时都会感到非常方便。只要PDE定解问题的提法正确，那么，启动MATLAB后，在MATLAB工作空间的命令行中键人pdetool，系统立即产生偏微分方程工具

2、箱(PDEToolbox)的图形用户界面(GraphicalUserInterface，简记为GUI)，即PDE解的图形环境，这时就可以在它上面画出定解区域、设置方程和边界条件、作网格剖分、求解、作图等工作，详见1．4节中的例子。我们将在第二章详细介绍GUI的使用，在第二章给出大量典型例子和应用实例。除了用GUI求解PDE外，也可以用M文件的编程计算更为复杂的问题，详见第三章和第四章的内容。1．2PDEToolbox求解的问题及其背景1．2．1方程类型PDEToolbox求解的基本方程有椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程、特征值方程、

3、椭圆型方程组以及非线性椭圆型方程。椭圆型方程：，椭圆型方程：其中是平面有界区域，c,a,f以及未知数u是定义在上的实（或复）函数。抛物型方程：双曲型方程：.特征值方程：其中d是定义在上的复函数，是待求特征值。在抛物型方程和双曲型方程中，系数c,a,f和d可以依赖于时间t。可以求解非线性椭圆型方程：其中c,a,f可以是未知函数u的函数。还可以求解如下PDE方程组；利用命令行可以求解高阶方程组。对于椭圆型方程，可以用自适应网格算法，还能与非线性解结合起来使用。另外，对于Poission方程还有一个矩形网格的快速求解器。1．2．2边界条件（

4、1）Dirichlet条件：(2)Neumann条件：其中是的边界上的单位外法向量，和是定义在上的函数。对于特征值问题仅限于齐次条件：和。对于非线性情形．系数和可以依赖于u；对于抛物型方程和双曲型方程，系数可以依赖于时间t。对于方程组情形，边界条件为(1)Dirichlet条件：(2)Neumann条件：(3)混合边界条件为:其中的计算要使得Dirichlet条件满足。在有限元法中，Dirichlet条件也称为本质边界条件，Neumann条件称为自然边界条件。1.3如何使用FDEToolbox1.3.1定解问题的设置员简单的办法是在P

5、DETool上直接使用图形用户界面(GUl)。设置定解问题包括三个步骤：(1)Draw模式：使用CSG(几何结构实体模型)对话框画几何区域，包括矩形、圆、椭圆和多边形，也可以将它们组合使用。(2)Boundary模式：在各个边界段上给出边界条件，(3)PDE模式：确定方程的类型、系数c，a，f和dc。也能够在不同子区域上设置不同的系数(反映材料的性质)。1.3.2解PDE问题用GUI解PDE问题主要经过下面两个过程（模式）(1)Mesh模式；生成网格．自动控制网格参数。(2)Solve模式：对于椭圆型方程还能求非线性和自适应解。对于抛

6、物型和双曲型力程．设置初始边值条件后能求出给定t时刻的解。对于特征值问题，能求出给定区间内的特征值；求解后可以加密网格再求解。1.3.3使用Toolbox求解非标准的问题对于非标准的问题。可以用PDEToo1box的函数。或者用FEM(有限元法)求解更为复杂的问题。1.3.4计算结果的可视化从GUI能够使用Plot模式实现可视化。可以使用Color,Height和Vector等作图。对于抛物型和双曲型方程，还可以生成解的动画。这些操作通过命令行都很容易实现。1.3.5应用领域在应用界面提供了丁如下应用领域．结构力学——平面应力问题．结

7、构力学——平面应变问题．静电场问题．静磁场问题．交流电磁场问题．直流导体介质问题．热传导问题．9‘散问题这些界面都有对话框，它包括PDE的系数、边界条件、解的性质等。1.4解偏微分方程的一个例子解Poisson方程，边界条件为齐次Dirichlet类型。第一步：启动MATLABl,键入pdetool，按回车键确定便可启动GUI，然后在Options菜单下选择Grid命令，打开栅格,栅格的使用，能使用户容易确定所绘图形的大小，如图1—11--1第二步：分步完成平面几何造型：R1-C1-E1+R2+C2。用菜单或快捷工具，分别画矩形R1、

8、矩形R2、椭圆E1、圆C1、圆C2。画圆时，首先选中椭圆工具，按鼠标右键并拖动即可、或者在按ctrI的同时，拖动鼠标也可绘制圆。然后在Setformula栏，进行编辑并用算术运算将将图形对象名称连接起来，删除默认的表达式