绍兴文理学院数模竞赛b题论文

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1、篮球投射的问题分析摘要篮球是现代社会很流行的一项体育运动，在激烈的篮球比赛中，投篮命中率是决定赛事输赢的重要因素，这也显出了研究投篮命中率的重要性和紧迫性。“投篮命中率”数学建模的目的是通过研究出手角度和出手速度对投球命中率的影响来找到最佳的出手角度和出手速度来提高命中率。本论文就是对篮球投射的问题作一点讨论。运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型,从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮圈圈心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理

2、估计出手点与篮圈圈心距离并保持出手速度稳定的情况下,确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出能提高投篮命中率的结论．问题一：此问研究罚球投篮，不考虑球出售后自身的旋转及球碰篮筐或篮板的情况。先通过几何图形，定积分的几何应用及抛射体运动轨迹方程将问题转化为求某一阴影部分面积关于角度的最大值，又由于问题范围的限制再通过对初速度的讨论并利用函数的单调性、极值知识求得最佳的出手角度。问题二：此问为定点投篮问题，利用完全弹性碰撞原理可假设与篮球板背面的那边也有一个“篮圈”，画出此篮筐，篮球运动后进入此虚拟篮筐使篮球

3、的运动成一条曲线。利用几何图形计算球出手点到虚拟篮圈圈心的水平距离。再利用问题一的结论得出最佳出手角度和出手速度。关键词：出手角度、出手速度、出手点与篮圈圈心距离、篮球入射角1引言目前，国外研究篮球问题的角度主要从组合、技术、营养、技巧等方面入手，全方位、多侧面考虑多种因素对投篮效果的影响，建立数学模型进行研究，并打造出了类似NBA的国际知名球赛．国外研究考虑的因素虽比较全面,有利于球员的充分发挥,但由于中国球员的身高、体力等与国外球员相比有较大差别,因此,此类数学模型不能全部照搬．而国内著作在该方面的研究

4、相对较少．郭鼎文在文献[2]中对篮球投射如何使命中率提高作了很好阐述,但没有针对这个问题给出实际有效的模型，以便更好地分析问题；本文对篮球投射的问题作一点讨论．运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型,从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮圈圈心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析出手速度﹑出手角度对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮圈圈心距离并保持出手速度稳定的情况下,确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率

5、的结论．2问题提出篮球是一种跳跃运动，而投射是一种常见的投篮动作[1]，但是运动员如何在投篮的过程中把握好投射，并准确有效地投篮呢？。下面针对问题进行详细的分析,并建立数学模型.3问题分析投射的关键是向上举球和起跳动作协调一致，同时保持篮球在空中最高点被迅速稳定地投出[2]．投球的过程是一个抛物的过程，球飞行的弧线可看作是一条抛物线．过去的实验表明，投篮的抛物线过高，球飞行的时间过长，路程也大，受空气的阻力和风力的影响则大，不宜控制球的飞行方向，从而影响投篮的命中率[3].篮球飞行的抛物线太低，球的入射角较

6、小，也难于将篮球投中．考虑合理的出手角度和出手速度是解决问题的最大关键[4]，此时,篮球在飞行过程中受空气阻力、风力的影响等许多次要因素，则可以忽略(不影响投篮的实际效果)．4模型假设（1）据物理学知识，假设投篮时，篮球与球板的碰撞是完全弹性碰撞[5]，没有能量损失;（2）运动员掌握熟练的投篮技术，并能根据实际需要控制球的出手角度与相应出手速度，准确判断出手点与篮圈圈心的水平距离;（3）运动员有良好的心理素质[6],防守队员的防守不影响投篮的命中率;（4）投篮的运动曲线和篮圈圈心在同一平面内;（5）忽略空气

7、阻力，篮球在空中的旋转不影响投篮效果;（6）篮球是一个质点，且这个质点的位置位于球的重心（球心）．5符号说明d篮球直径D篮框直径L罚球点和篮框中心的水平距离H篮框中心的高度h篮球运动员的出手高度v篮球运动员投篮出手速度A在限制区边线上的投篮点与篮框中心中心的水平夹角a篮板到端线的水平距离b篮框到篮板的距离c篮框的半径当在限制区边线上距离篮框中心30度位置投篮时，投球点经过篮框中心到篮板的水平距离当在限制区边线上距离篮框中心45度位置投篮时,投球点经过篮框中心到篮板的水平距离当在限制区边线上距离篮框中心30度

8、位置投篮时，投球点到篮框中心的水平距离当在限制区边线上距离篮框中心45度位置投篮时，投球点到篮框中心的水平离按照标准尺寸：L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm。g=9.86模型建立及求解　问题1）的分析与模型的建立：不考虑篮球和篮框的大小的简单将球情况，相当于视为质点（球心）的斜抛运动。将坐标原点定在球心P，列出x(水平)方向和y（竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命