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时间:2018-07-09
《数学论文 聚焦知识交汇 适应高考创新》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、聚焦知识交汇适应高考创新近两年各省市高考数学试卷,遵循高考命题的“三个有利于”和稳定、改革、创新的命题原则,在试题设计上做到“从学科的思维高度和思维价值考虑问题,在知识网络交汇点设计试题”,用统一的教学观点组织材料,对知识的考查侧重于理解和应用,尤其是综合和灵活的应用,以此来检测考生将知识迁移到不同情景中去的能力。不同的高考试卷,表现出一个共同特点,即通过对新颖信息、情景的设问,在知识网络交汇处设计试题,体现了对创新能力的考查,因此,要提高复习的针对性,适应高考创新型试题,必须注意知识在各自发展过程中的纵
2、向联系以及不同知识部份之间的横向联系,把握结构,理清脉络,十分重视知识网络交汇点和知识块结合部的复习,以提高对高考创新型试题的适应能力。以下对不同知识交汇和结合的情形作一些研究。 1.立体几何与平面解析几何的交汇 在教材中,立体几何与解析几何是互相独立的两章,彼此分离不相联系,实际上,从空间维数看,平面几何是二维的,立体几何是三维的,因此,立体几何是由平面几何升维而产生;另一方面,从立体几何与解析几何的联系看,解析几何中的直线是空间二个平面的交线,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)是平面截圆锥面所产生的
3、截线;从轨迹的观点看,空间中的曲面(曲线)是空间中动点运动的轨迹,正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系,因此,在平面几何与立体几何的交汇点,新知识生长的土壤特别肥沃,创新型题型的生长空间也相当宽广,这一点,在04高考卷中已有充分展示,应引起我们在复习中的足够重视。 1.1空间轨迹 教材中,关于轨迹,多在平面几何与平面解析几何中加以定义,在空间中,只对球面用轨迹定义作了描述。如果我们把平面解析几何中的定点、定直线不局限在同一个平面内,则很自然地把轨迹从平面延伸到空间。 例1,(04高考重庆
4、理科)若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD距离与到棱AB距离相等,则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是( ) 解:设二面角A—BC—D大小为θ,作PR⊥面BCD,R为垂足,PQ⊥BC于Q,PT⊥AB于T,则∠PQR=θ,且由条件PT=PR=PQ·sinθ,∴为小于1的常数,故轨迹图形应选(D)。 例2,已知边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1,在正方体表面上距A为(在空间)的点的轨迹是正方体表面上的一条曲线,求这条曲线的长度。 解:此问题的实质是以A为球心、为半径的球在
5、正方体ABCD—A1B1C1D1,各个面上交线的长度计算,正方体的各个面根据与球心位置关系分成二类:ABCD,AA1DD1,AA1BB1为过球心的截面,截痕为大圆弧,各弧圆心角为,A1B1C1D1,B1BCC1,D1DCC1为与球心距离为1的截面,截痕为小圆弧,由于截面圆半径为,故各段弧圆心角为,∴这条曲线长度为。 1.2平面几何的定理在立体几何中类比 高考考纲对考生思维能力中明确要求“会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括,会用演绎、归纳和类比进行推理,能合乎逻辑地、准确地进行表述”
6、,类比推理可考查考生利用旧知进行知识迁移、组合和融汇的能力,是一种较好地考查创新能力的形式,平面几何到立体几何的类比,材料丰富,操作性强,在历年高考中均有不俗表现。 例3,(04高考广东卷题15)由图(1)有面积关系:,则由图(2)有体积关系 (答案:) 评注:数学结论的类比既需要数学直觉,也需要逻辑推理能力,它是高考考查创新能力的重要载体,从平面几何到立体几何的结论类比,更是这一类考题蕴藏丰富的宝库,从三角形到三棱锥,从正方形到正方体,从圆到球等等,如果我们稍加留意,就会
7、有很多收获。 1.3几何体的截痕 例:球在平面上的斜射影为椭园:已知一巨型广告汽球直径6米,太阳光线与地面所成角为60°,求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积(椭圆面积公式为S=πab,其中a,b为长、短半轴长)。解:由于太阳光线可认定为平行光线,故广告球的投影 椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园:此时 b=R,a==2R,∴离心率, 投影面积S=πab=π·k·2R=2πR2=18π。 评注:囿于空间想象能力的限制,几何体的截痕和投影是立体几何中的一个难点,也是具,有良好区分度
8、的考题素材,因此有必要适当进行相应的训练,才能形成基本的解题策略。 1.4几何体的展开 例:有一半径为R的圆柱,被与轴成45°角平面相截得“三角”圆柱ABC,则此“三角”圆柱的展开图为( ) 解:设圆柱底面中心O,底面圆周上任一点P',过P'的圆柱母线与截口交点为P, ∠AOP'=θ,则∵∠CBA=45°,作P'Q⊥AB于Q,∴
9、PP'
10、=
11、AC
12、-
13、AQ
14、=2R-(R-Rcosθ)=R(1+cosθ),AP'=Rθ
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