曲线积分及其与路径无关问题

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1、曲线积分及其与路径无关问题曲线积分与路径无关问题1.第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L：AB,其线密度为?(x,y)求弧AB的质量m。m??Lf(x,y)ds,(2)若L1?AB,L2?BA，则?f(x,y)ds=?f(x,y)ds，即对弧长的曲线积分L1L2与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。(3)对弧长的曲线积分的计算设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为?(??t??),其中?(t)、?(t)?x??(t)?y??(t)，在??,??上具有一阶连续导数，且?'2(t)??'2(t)?0，则曲线积分?f(x,y)

2、ds存在，且L?Lf(x,y)ds=???f??(t),?(t)??(t)??'2'2(t)dt(???)特别,当f(x,y)?1时,?Lf(x,y)ds表示曲线弧L的弧长。当曲线弧L的方程为y?g(x)(a?x?b)，g(x)在?a,b?上有连续的导数，则?Lf(x,y)ds=?f?x,g(x)???g(x)dx；'2ad把线弧L的方程为y?f(x)化作参数方程??x?x?y?g(x)，(a?x?b)，?Lf(x,y)ds=?f?h(y),y???h(y)dy(c?y?d)'2cd2.第二型曲线积分(1)第二型曲线积分的模型:设有一平面力场F(x,y

3、)?P(x,y)i?Q(x,y)j，其中P(x,y),Q(x,y)为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A沿光滑曲线L运动到点B，求力场的力所作的功W。W??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy，(2)设L为有向曲线弧，?L为与L方向相反的有向曲线弧，则?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy???P(x,y)dx?Q(x,y)dy?L即第二型曲线积分方向无关(3)设xoy平面上的有向曲线L的参数方程为??x??(t)?y??(t)，当参数t单调地由?变到?时,曲线的点由起点A运动到终点B,?(t)、?(t)在以?及?为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且?'2(t)??&#

4、39;2(t)?0，函数P(x,y)、Q(x,y)在L上连续，则曲线积分?P(x,y)dx?Q(x,y)dy存在，且L?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy=????P??(t),?(t)??'(t)?Q??(t),?(t)??(t)dt'?这里的?是曲线L的起点A所对应的参数值，?是曲线L的终点B所对应的参数值，并不要求???。若曲线L的方程为y?f(x),x?a对应于L的起点，x?b应于L的终点，则?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy=?P?x,f(x)??Q?x,f(x)?f(x)dx；'ab??若曲线L的方程为x?g(y),y?c对应于L的起点，y?

5、d应于L的终点，则?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy=?dc?P?g(y),y?g'(y)?Q?g(y),y?dy。?同样，以上并不要求a?b，c?d。公式可推广到空间曲线C上对坐标的曲线积分的情形，若空间曲线L的参数方程为x??(t),y??(t),z??(t)，则?CP(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz=??P??(t),?(t),?(t)????'(t)?Q??(t),?(t),?(t)??(t)?R??(t),?(t),?(t)??(t)dt这里''?下限?为曲线C的起点所对应的参数值，上限?为曲线C的终点所对应

6、的参数值。例1计算?xydx?ydy，其中L(1)L为抛物线y2?x上从点A(1,?1)到点B(1,1)的一段弧。(2)L为从A到点B的直线段.解法1(1)由y2?x知y不是x的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用公式（3），这里x?y2，y从?1变到1，于是?Lxydx?ydy=?1?1?y2?y?(y)?ydy=4?ydy=2'40?145。解法2当把曲线L分成AO与OB两部分时，在每一部分上y都是x的单值函数。在AO上y??x，x由1变到0；在OB上，y?x，x由0变到1。于是?Lxydx?ydy=?OAxydx?ydy+?OBxydx?ydy1=??x(?x)?

7、(?x)(?x)'?dx+??xx?010x(x)dx'?=?(?x2?)dx?10312?130(x2?12)dx=45(2)直线AB的方程为x?1,dx?0,y从?1到1,于是?Lxydx?ydy=?ydy=0?11从这个例子可以看出,对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等.3.格林公式及其应用格林公式:设平面闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则??D(?Q?x??P?y)