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1、曲线积分与路径无关问题1.第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧：,其线密度为求弧的质量。,(2)若，则=，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。(3)对弧长的曲线积分的计算设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为，,其中、在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且=特别,当时,表示曲线弧的弧长。当曲线弧的方程为，在上有连续的导数，则=；把线弧的方程为化作参数方程，，=2.第二型曲线积分(1)第二型曲线积分的模型:设有一平面力场，其中为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点沿光滑曲线运动到点，求力场的力所作的功。，(2)设
2、为有向曲线弧，为与方向相反的有向曲线弧，则即第二型曲线积分方向无关(3)设平面上的有向曲线的参数方程为，当参数单调地由变到时,曲线的点由起点运动到终点,、在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，函数、在上连续，则曲线积分存在，且=这里的是曲线的起点所对应的参数值，是曲线的终点所对应的参数值，并不要求。若曲线的方程为对应于的起点，应于的终点，则=；若曲线的方程为对应于的起点，应于的终点，则=。同样，以上并不要求，。公式可推广到空间曲线上对坐标的曲线积分的情形，若空间曲线的参数方程为，则=这里下限为曲线的起点所对应的参数值，上限为曲线的终点所对应的参数值。例1计算，其中
3、(1)为抛物线上从点到点的一段弧。(2)为从到点的直线段.解法1(1)由知不是的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用公式（3），这里，从变到，于是===。解法2当把曲线分成与两部分时，在每一部分上都是的单值函数。在上，由变到；在上，，由变到。于是=+=+==(2)直线的方程为,,从到,于是==从这个例子可以看出,对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等.3.格林公式及其应用格林公式:设平面闭区域D由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则其中是的正向边界曲线。在公式(1)中取，可得，上式左端为闭区域的面积的两倍，因此计算有界闭区域的面积的公式为
4、:。例2计算星形线所围图形的面积.解由公式(2)得===.例3在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族中，求一条曲线Ｃ，使沿该曲线从Ｏ到Ａ的线积分的值最小。解本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。令，即AO直线段。。用一元函数极值的方法得时达到最小值。4.平面曲线积分与路径无关的条件从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关；定义：（曲线积分与路径无关问题）设是平面上的一个开区域，以及在内具有一阶阶连续偏导数.如果对内任意两点与，以及内从点到点的任意两条曲线、
5、，恒有=，则称曲线积分在内与路径无关。定理：以下条件等价(1)在区域内曲线积分与路径无关的充分；(2)内沿任一闭曲线的积分为零；(3)设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数且在内恒成立；(1)为全微分．例3计算,其中是从点经圆周上半部到点的弧段。解直接计算曲线积分比较难,先判断是否与积分路径无关.这里,,有=,且与在全平面上有一阶连续偏导数.因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段作为积分路径.于是==例4计算,其中为:（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点;（2）以原点为圆心的任一圆周.解这里,,,且与在不含原点的任意一个区域内具有
6、一阶连续偏导数.（1）这个曲线积分与路径无关,所以.（2）由这一圆周所包围折区域内含有原点,因此不满足定理(3)及格林公式的条件,只能直接计算.这一圆周的参数方程为,,则.例5设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数.（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；（II）求函数的表达式.【分析】证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求的表达式，显然应用积分与路径无关即可.Y【详解】（I）l2CoXl3如图，将C分解为：，
7、另作一条曲线围绕原点且与C相接，则.（II）设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有.①②比较①、②两式的右端，得④③由③得，将代入④得 所以，从而【评注】本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.5.二元函数的全微分求法定义：若函数使,则称函数是表达式的一个原函数。判别法：设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数,则在内存在原函数的充分必要条件是等式在内恒成立。求法：一般取.例5验证在整个在平面内是存在原函数,并求出一个原函数。解这里,,且在整个在
