高等代数答案王萼芳

《高等代数答案王萼芳》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章多项式多项式理论是高等数学研究的基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯穿其他章节。换句话说，多项式理论的讨论可以不依赖于高等数学的其他内容而自成体系，却可为其他章节的内容提供范例与理论依据。本章主要讨论多项式的基本概念与基本性质，包括数域的概念、一元多项式的定义与运算规律、整除性、因式分解及根等概念。对于多元多项式，则主要讨论字典排列法与对称多项式。一重难点归纳与分析(一)基本内容概述多项式理论又分为一元多项式与多元多项式两大部分，其中一元多项式主要讨论：1．一元多项式的基本概念与基本性质：主要讨论数域的概念、一元多项式的定义与运算规律。2．一元多项式的整除性理论：

2、主要讨论带余除法与余数定理、整除的基本概念与基本性质、最大公因式和互素的基本概念与基本性质。3．一元多项式的因式分解理论：主要讨论不可约多项式的基本概念与基本性质、因式分解及其唯一性定理、三个特殊数域上的多项式分解。4．一元多项式的根与重根：主要讨论重因式的定义与性质、多项式的根、多项式根的个数定理。多元多项式则主要讨论多元多项式的基本概念、字典排列法与对称多项式。（二）重难点归纳本章的重点为一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；难点为最大公因式的定义，一元多项式的整除性，一元多项式的整除、最大公因式、互素及不可约多项式等概念的联系与区别。（三）题型归类与分析本章的

3、基本题型主要有：1．关于一元多项式的基本概念，通常有一元多项式的比较次数法、比较系数法，用以确定多项式的次数及证明有关命题。2．关于一元多项式整除性理论，通常有多项式整除性的检验、最大公因式的求法、互素的判别、按幂展开等等，可采取综合除法、带余除法、辗转相除法、待定系数法、反证法及利用多项式的整除、最大公因式、互素等定义与性质求证有关命题。3．关于一元多项式的因式分解理论，通常有多项式的可约性判别、因式分解、重因式的判别等等，可采取艾森斯坦判别法、克龙莱克尔分解法、求有理根的分解法、分离重因式法、辗转相除法以及利用不可约多项式的定义与性质求证有关命题。4．关于一元多项式的根与重根，通

4、常有根的检验及重根的判别、根与系数的关系以及球多项式的根与重根等等，可利用辗转相除法、结式判别法、分离重因式法、艾森斯坦判别法等进行讨论，以及利用某些基本定理求解。5．关于多元多项式，通常有对称多项式化初等对称多项式的化法与对称多项式的应用，其中化对称多项式为初等对称多项式的方法主要有公式法、首项消去法及待定系数法；应用对称多项式，可以对具有对称多项式形式的线性方程组求解、进行因式分解、进行恒等式的证明及求多元多项式的零点。（四）综合举例例1设f(x)是一元多项式，a,b是任意数，c是非零数，试证：1）f(x−c)=f(x)⇔f(x)是常数；2）f(a+b)=f(a)+f(b)⇔f(

5、x)=kx(k为常数）；3）f(a+b)=f(a)f(b)⇔f(x)=1或1。证上述命题的充分性显然，下证必要性。1）若f(x)不是常数，因f(x)是一元多项式，可设∂(f(x))=n>0，并设x,x,...x是f(x)的n个根，则12nfxcfx()(−=)=0(in=1,2,...,)ii于是x−c,x−c,...x−c也是f(x)的n个根，再由韦达定律，有12n(x−c)+(x−c)+...+(x−c)=x+x+...+x12n12n从而c=0，与假设矛盾，即证f(x)是常数。2）在f(a+b)=f(a)+f(b)中，令b=0，可得f)0(=0，于是x=0是f(x)的一个0根，

6、从而有f(x)=xg(x),再令x=2t，得2tg2(t)=f2(t)=f(x+t)=f(x)+ft)(=2ft)(=2tgt)(⇔g2(t)=gt)(即证g(x)为一个常数，设其为k，代入f(x)=xg(x)可得f(x)=kx。3）若f(x)=0，则结论成立。否则由f2(x)=f(x+x)=f(x)f(x)知f(x)只能是常数，设其为k，则2k=f)0(=f)0(+f)0(=f)0(f)0(=k又因假设，k≠0，所以k=1，即证f(x)=1。例2在P[x]中，设g(x)≠,0h(x)为任意的多项式，试证：f(f(x),g(x))=(f(x)−h(x)g(x),g(x))证：由已知，

7、可设(f(x),g(x))=d(x)则f(x)=q(x)d(x),g(x)=q(x)d(x)12于是f(x)−h(x)g(x)=[q(x)−h(x)q(x)]d(x)12即d(x)是f(x)−h(x)g(x)与g(x)的一个公因式。若d(x)是f(x)−h(x)g(x)与g(x)的任意一个公因式，则由多项式的整除性质，可1得f(x)=q(x)d(x)。这表明d(x)f(x)，从而311d(x)d(x)1即d(x)还是f(x)−h(x)g(x)与g(x)的一