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《高等代数知识点总结_第三版_王萼芳与石生明编》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第四章矩阵知识点考点精要-.矩阵及其运算1•矩阵的概念/、a\…a（1）由sXn个数喝（i=l,2...S；j=l,2……n）排成n行n列的数表称为s行n列厲…⑺矩阵，简记为A=（aij）sn.（2）矩阵的相等设人=（知）”,B=（61廿）止,如果m=1,n=k,且a..=b（.,对i=l,2...m；j=l,2n都成立，则称A与B相等,记A=B。（3）各种特殊矩阵行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。2•矩阵的运算（1）矩阵的加法/、a\…a••••••4.，b\■■••••気+%■■…州“+勺”、•
2、••••••ata51sny1■••…bsny■吗+bsi••…asn+bsn>运算规律:i)A+B=B+Ai)(A+B)+C=A+(B+C)iii)A+O=Aiv)A+(-A)=O(3)数与矩阵的乘法/a\…a…ka、n•••■••••••••S…asn)■■••••…叽运算规律：(k+1)A=kA+lA,k(A+B)=ka+kBk(IA)=(kl)A1A=A.(3)矩阵的乘法"1…如八21…4“丿…%丿其中©=a.fy.+aj2b2j++绻如丿=1,2,j=1,2.....m运算规律：i)(AB)C=A(BC)i)A(B+C)=AB+ACi
3、ii)(B+C)A=BA+CAiv)k(AB)=A(kB)=(kA)B-般情况，ABHBAAB=AC,AHO乂B二CAB=O乂A=0或B=0(4)矩阵的转置/Xa\…a(、a\…as•••••••••A的转置就是指矩阵A=•••••••••“I…asn>®…Clsn)运算规律：i)(A)=Aii)(A+B)=A+Biii)(AB)=BAiv)(kA)=kA(5)方阵的行列式仙1…dJa\…a设方阵A=•••••••••A的行列式为
4、內二•••••••••M…asn)勾…asn运算规律：i)
5、Aj=
6、A
7、ii)kA=knAiii)
8、AB=A\B=BA，这里A,B均为n级方阵。二・矩阵的逆1•基本概念(1)矩阵可逆的定义n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B,使得AB=BA=E,这里E是单位矩阵。(2)伴随矩阵(、a\…aA、…知设是矩阵A=•••••••••4…Cinn)中兀素知的代数余子式，矩阵A*=■■■41••••••…Ann/称A的伴随矩阵。2•基本性质(1)矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化(仏卜0),而犷(2)如果矩阵A,B可逆，那么才与AB也可逆，且(A)-1=(A_,)'(仙尸=矿才(3)设A是sxn矩阵,如果P是sxs可逆矩阵,Q是nxn可逆矩阵
9、,那么秩(A)二秩(PA)二秩(AQ)三・分块矩阵了解分块矩阵的概念及运算，特别是准对角矩阵的性质。対于两个有相同分块的准对角矩阵/Ao' 、A=••,B=■••如果它们相应的分块是同级的,<0<0则卸0(1)AB=10佔丿t+d0、(2)A+B=<°A+窗0、（4）A可逆的充要条件是人,爲•…4可逆，且此时，'J、oQ四・初等变换与初等方阵1•基本概念（1）初等变换i）用一个非零的数k乘矩阵的第i行（列）记作gCxk）ii）互换矩阵中i,j两行（列）的位置，记作町仃（2勺）iii）将笫i行（列）的k倍加到第j行（列）上，记作Fj+kUCjXkCj）称
10、为矩阵的三种初等行（列）矩阵。初等行，列变换称为初等变换所得到的矩阵。（2）初等方阵单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。、2•基本性质（1）对一个sXn矩阵A作一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的sXs初等矩阵；对A作一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的nXn初等矩阵。（2）任意一个sXn矩阵A都与—•形式为00、001■■000的等价，它称为矩阵A的标准型,1…00…00…0,主对角线上1的个数等于A的秩。（3）n级短阵A为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积。（4）两个sxn矩阵A,B等价的充分必要条件是，存在可逆的s级矩阵
11、P与可逆的n级矩阵Q,使B=PAQo1•用初等变换求逆矩阵的方法把n级矩阵A,E这两个nXn矩阵凑在一起，得到一个nX2n矩阵（AE）,用初等行变换把它的左边一半化成E,这时，右边的一半就是A"。护章知识考点精要1・二次型及其矩阵表示（1）二次型设P是一数域，一个系数在数域P屮的召，兀2,••…心的二次齐次多项式f（xl,x2,---xn）=auXy+2a[2x{x2+•••+2a[nxlxn+a22x^+…+2a2nx2xn+…+称为数域P上的一个n元二次型。（2）二次型矩阵设/（几兀2,）是数域P上的n元二次型，心兀2,…暫）可写成矩阵形式f（xl9
12、x29--xn）XAX其屮x=（xpx2,---xzi）',A=（6/,y）MX
