2016高考数学第一轮复习_函数的奇偶性与周期性

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1、2.3　函数的奇偶性与周期性1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数

2、；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，

3、g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋

4、a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2

5、a－b

6、.双基自测1．(2011·全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝(　　)．A.－B.－C.D.解析　因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f＝－f＝－f＝－.故选A.答案　A2．(2012·福州一中月考)f(x)＝－x的图象关于(　　)．A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝

7、x对称解析　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝－(－x)＝－＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称．答案　C3．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)．A．f(x)＋

8、g(x)

9、是偶函数B．f(x)－

10、g(x)

11、是奇函数C．

12、f(x)

13、＋g(x)是偶函数D．

14、f(x)

15、－g(x)是奇函数解析　由题意知f(x)与

16、g(x)

17、均为偶函数，A项：偶＋偶＝偶；B项：偶－偶＝偶，B错；C项与D项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成

18、立，故选A.答案　A4．(2011·福建)对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　)．A．4和6B．3和1C．2和4D．1和2解析　∵f(1)＝asin1＋b＋c，f(－1)＝－asin1－b＋c且c∈Z，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶数，只有D项中两数和为奇数，故不可能是D.答案　D5．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－

19、x＋a

20、为偶函数，则实数a＝________.解析　法一　∵f(－x)＝f(x)

21、对于x∈R恒成立，∴

22、－x＋a

23、＝

24、x＋a

25、对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.法二　由f(－1)＝f(1)，得

26、a－1

27、＝

28、a＋1

29、，得a＝0.答案0　考向一　判断函数的奇偶性【例1】►下列函数：①f(x)＝＋；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋)；④f(x)＝；⑤f(x)＝lg.其中奇函数的个数是(　　)．A．2B．3C．4D．5[审题视点]利用函数奇偶性的定义判断．解析　①f(x)＝＋的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝＋是奇函数，也是偶函数

30、；②f(x)＝x3－x的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x3－x是奇函数；③由x＋>x＋

31、x

32、≥0知f(x)＝ln(x＋)的定义域为R，又f(－x)＝ln(－x＋)＝ln＝－ln(x＋)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；④f(x)＝的定义域为R，又f(－x)＝＝－＝－f(x)