上海市2015年七宝中学高三第一学期数学期中试卷（理）带答案

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1、2015年七宝中学高三第一学期期中考试理科数学一、填空题1、设集合，，则_________。2、已知、、……是直线上的一列点，且，则这个数列的通项公式是___________。3、设，向量，，若，则___。4、函数定义域是___________。5、已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则__________。6、函数的反函数是___________。7、方程的解是___________。或8、是不等的两正数，若，则的取值范围是___________。9、数列中，已知，则的前项和_______

2、____。10、若向量与夹角为，，，则________。11、若三数成等差，且成等比，则值为___________。或12、已知菱形的边长为，，点分别在边上，，，若，则的值为___________。13、已知是定义在上的奇函数，，当时，，则方程的解的个数为___________。3个14、已知函数，若存在满足，且，当取最小值时，的最小值为___________。二、选择题15、定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则当时，有（）A、B、C、D、16、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A、B

3、、C、D、17、已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题中(1)有5个不同的值；(2)若则与无关；(3)若则与无关；(4)若，则；(5)若，，则与的夹角为。正确的是（）A、(1)(2)B、(2)(4)C、(3)(5)D、(1)(4)解:至多3个不同的值：、、（1）错误，若则与无关(2)正确若则与有关(3)错误若，则(4)正确若，则(5)错误18、已知函数是定义在上的奇函数，当时，。若对任意，，则实数的取值范围（）A、B、C、D、解：当时，

4、显然，由奇偶性可知，当时，若对任意，由图像可知，∴三、解答题19、函数是这样定义的：对于任意整数，当实数满足不等式时，有。(1)求函数的定义域，并画出它在上的图像；(2)若数列，记，求。解：（1）（2）∴20、如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记。(1)试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；(2)问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的

5、长度。解：（1）且∴（2）令则在上单调递减，因此即或时取得最大值米。21、已知函数，且函数的图像与函数的图像关于直线对称。(1)若存在，使等式成立，求实数的最大值和最小值；(2)若当时不等式恒成立，求的取值范围。解：（1）与关于直线对称则当时，此时，即最大值，最小值（2）即恒成立当时，只须即当时，显然成立当时，只须即综上，22、设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”。(1)若数列的前项和，证明：是“数列”(2)设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；(3)证明

6、：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立。(1)∵∴当时，即；当时，即。所以是“数列”（2）若是“数列”，则总存在正整数，使得即显然，对任意正整数，均有又因为所以（3）令对于数列，当时，总有即是“数列”对于数列，当时，总有即是“数列”又因为所以对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立。23、定义在上的函数，如果对任意，恒有成立，则称为阶缩放函数。(1)已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求的值；(2)已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求证：函数在上无零点；(3)已知函数为阶缩放函数，

7、且当时，的取值范围是，求在上的取值范围。解：（1）（2）当时，则令解得，或均不在内所以函数在上无零点(3)当时，的取值范围是且因此，当时，因为所以故当时，因为，所以在上的取值范围为。