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1、8.3复二次型与实二次型授课题目：8.3复二次型与实二次型授课时数：3学时教学目标：掌握复二次型与实二次型的性质，会将给定的复二次型与实二次型化为标准型教学重点：复二次型与实二次型的性质教学难点：复二次型与实二次型的性质教学过程：1.复(实)二次型与复（实）变换我们知道，在一般数域内二次型的标准形不是惟一的，而与所作的可逆线型替换有关，这同时也告诉我们：不能简单地由两个二次型的标准是否相同来判定它们是否等价.本节，我么将在复数域和实数域上来讨论二次型的标准形的惟一性问题。系数在复数（实数）数域上的二次型，简称复（实）二次型，与之对应的矩阵实复（实）对称矩阵，对它们进行的可逆线型替换的系数也是
2、复数（实数），称之为复（实）变换。先看复数域上的情形，我们从与二次型一一对应的对称矩阵着手。2.复对称矩阵与复二次型的典范形定理8.3.1n阶复对称矩阵A与对角形矩阵（1）合同，其中（1）式矩阵中1的个数r=秩（A）.（1）式称为复对称矩阵A的典范形矩阵，典范形是惟一的.证由定理8.2.1知，A与对角形矩阵6合同，注意到ci≠0(i=1,2,…,r),我们用乘以B的第i列再乘以它的第i行（i=1,2,…,r），经过这r次合同变换便得（1），从而A与（1）合同.又因合同矩阵的秩相等，故（1）式中1的个数等于A的秩，因而复对称矩阵A的典范形惟一。□注意合同是一种等价关系，因而有以下推论.推论1两
3、个n阶复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.推论2秩为r的n元复二次型f(x1,x2,…,xn),经过一适当的可逆线性替换可以化成++…+.（2）（2）式称为复二次f(x1,x2,…,xn)的典范形，典范形式惟一的.推论3两个n元复二次型等价的充分必要条件是它们的秩相等.再看实数域上的情形.3.实对称矩阵与实二次型的典范形定理8.3.2 n阶实对称矩阵A与对角形矩阵（3）合同，其中r＝秩（A），0≤p≤r．矩阵（3）叫做实对称矩阵A的典范形矩阵．证 由定理8.2.1知，A与合同，ci≠0(i=1,2,…,r)．注意到如果要交换ci，cj，只需交换第i，j6列再交换第i，j行（1≤i，j
4、≤r）．因而，不妨设c1，c2，…，cp＞0，cp+1，…，cr＜0，用 乘以B的第i列再乘以B的第i行(i=1,2,…,r)，经此有限次合同变换便得（3），从而A与（3）合同．□4.实二次型的典范型与惯性定律定理8.3.3 （惯性定律）任意一个秩为r的n元实二次型f(x1,x2,…,xn)，都可经过一适当的可逆线性替换化为++…+---…-()（4）而（4）式称为实二次型f(x1,x2,…,xn)的典范形，典范形是惟一的，即典范形中正平方项的个数是惟一确定的．证 由定理8.3.2可得定理前半部分，下证p惟一．设实二次型f(x1,x2,…,xn)＝XTAX经可逆线性替换X=BY=X=CZ=分
5、别化为典范形++…+---…-()（5）++…+---…-()（6）如果p≠q，我们不妨设p＞q，由于典范形（5）可以看成是由典范形（6）经过可逆线性替换Z=C-1BY得到的，设C-1B＝D=(dij),即经过可逆线性替换Z＝ 后，得6++…+---…-=++…+---…-（7）令（7）式中z1=…=zp=yp+1=…=yn=0，注意到关系Z=DY，可得由于方程个数q+（n-p）＝n-（p-q）＜n，故上述关于y1,y2,…,yn的齐次线性方程组有非零解，设(k1,…,kp,kp+1,…,kn)就是它的一个非零解，显然，kp+1＝…＝kn＝0，将这个解代入（7）式的右端，就得到++…
6、+-0-…-0=++…+>0而将这个解通过Z＝DY代入（7）式的左端，并注意到z1＝…＝zq＝0，因而有---…-≤0,这是一个矛盾，从而p＝q，即实二次型的典范形是惟一的．□推论4 n阶实对称矩阵A的典范形中的p由矩阵A惟一确定．定义1 在实二次型f(x1,x2,…,xn)的典范形中，正平方项的个数p称为二次型f(x1,x2,…,xn)的正惯性指标；负平方项的个数r-p称为负惯性指标；它们的差p-（r-p）＝2p-r称为f(x1,x2,…,xn)的符号差．因此，可以定义实对称矩阵的正、负惯性指标及符号差．显然，对于实二次型或实对称矩阵的秩r、正惯性指标p、负惯性指标r-p以及符号p-（r-
7、p）四个量，只需知道其中两个，便可以算出其余两个．可以称它们为这些变换下的不变量．推论5 两个n阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指标．两个n元实二次型能用可逆线性替换互化的充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指标．我们可以从实二次型的典范形中得到它的秩和符号差．定理8.3.4 设A是一个实对称矩阵，A的各行至多只有一个非零元，则A的秩等于非零元的个数，符号差等于主对角线上正的元素个数
