5.1任意角及其度量

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1、5.1任意角及其度量1、角：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。2、正角、负角与零角：一条射线绕着其端点按逆时针旋转所形成的角为正角，其度量值为正的，按顺时针旋转所形成的角为负角，其度量值为负的；特别的，当一条射线没有旋转时形成了零角（00）（始边与终边重合）。注意：角的大小是由旋转方向与旋转量决定的。思考：经过10分钟，分针所转过的角度是多少？秒针呢？（－600，－36000）3、象限角：在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边与x轴正半轴重合，此时角的终边在第几象限，即为第几象限角；当终边在坐标轴上时，即不

2、属于任何象限，称为轴角。思考：若角α为锐角，角α是第几象限角？第一象限角都是锐角吗？为什么？4、终边相同的角：所有与角α终边重合的角(包括角α)的集合表示为举例：(1)与600终边重合的角的集合：(2)与－3000终边重合的角的集合：①写成可以吗？②是否存在最大的负角和最小的正角？－3000和600③与－3000终边重合的负角的集合④若与－3000终边重合，且，满足条件的的集合解：注意：(1)k∈Z；(2)α可以是任意大小的角；(3)终边重合的角有无数个，它们相差3600的整数倍。[例1]你能否判断下列角分别属于哪个象限？解：(1)，则为第一象限角；（2

3、）,则为第二象限角；(3)，则不是象限角。解题规律：利用终边重合的角的表示方法，寻找00～3600之间的角，比较容易判断象限。[例2]若角α是第一象限角，判断下列各角的终边所在的象限位置。(1)α＋3600：第一象限角；(2)α－3600：第一象限角；(3)－α：第四象限角；(4)3600－α：第四象限角；(5)α＋1800：第三象限角；(6)α－1800：第三象限角；(7)1800－α：第二象限角；(8)900－α：第一象限角；解题规律：先确定α或－α的终边，在±3600、±1800等。思考：若α是第二象限角呢？[例3]写出下列角的集合。(1)终边为x

4、轴正半轴的角的集合：(2)终边为x轴负半轴的角的集合：(3)终边在x轴上的角的集合：(4)终边在y轴上的角的集合：(5)终边在坐标轴上的角的集合：(6)终边在一、三象限角平分线上的角的集合：(7)第一象限角的集合：解题规律：先确定α或－α的终边，在±3600、±1800等。[例4]若角是第二象限角，问是第几象限角？分析：若角α是第二象限角，即k•3600＋900＜α＜k•3600＋1800，k∈Z得k•1800＋450＜＜k•1800＋900，k∈Z——可取k＝0、1等数值进行研究①k为偶数时，是第一象限角；②k为奇数时，是第三象限角。则是第一或第三象限

5、角。思考：(1)是第几象限角？(2)若α是第三象限角呢？思考：若，且角的7倍角的终边与角的终边重合，求角。解：∵∴1、角度制：将圆周360等份，每一份叫作1度的角。2、弧度制：把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。（，l与r的比值只与角度有关）公式：【例1】求经过40分钟时钟的秒针、分针和时针各转过的角度数和弧度数。解：角度数分别为；弧度数分别为【例2】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，求证：（1）；（2）；（3）证明：因为角的弧度数的绝对值是，所以当取正值时，=，即圆心角为的扇形面积与所在圆的面积之比为，因此

6、用代入上式得【例3】一个扇形的周长是20厘米，求它的半径多大时，此扇形的面积最大？解：设扇形的半径为，则弧长为由由基本不等式可得所以，当半径厘米时，此扇形的面积最大值25平方厘米.【例4】已知是第三象限的角，试讨论的终边位置。解：（1）在第四象限；（2）的终边在第一、第二象限或轴的正半轴上；（3）①当时，，所以，此时的终边在第一象限；②时，，所以，此时的终边在第三象限；③时，所以，此时的终边在第四象限；综上所述，在第一、三或四象限【备用例1】自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大连轮转过一圈时。小链轮转过的角度是多少？合多少弧度？解：