调和函数及其在物理学中的应用

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1、调和函数及其在物理学中的一些应用设是个解析函数，，令，则称和是互为共轭函数.由于和的偏导数满足柯西—黎曼方程，，若和的二阶导数都存在，且关于和的二阶混合偏导数是可交换的，对柯西—黎曼方程求导数，即得，因此，和都满足二维的拉普拉斯(Laplace)方程..我们称满足拉普拉斯方程的函数为调和函数.以后，我们会知道，解析函数的实部和虚部都是调和函数.这里我们自然要问：给定调和函数或，我们能否找到一个解析函数，使得所给的或恰是的实部或虚部？答案是可能的.若给定的函数或是满足拉普拉斯方程的初等函数的一个简单组合，则这样的解析函数实存在的.这时用下述米尔—汤姆松(Mi

2、lne-Tomson)方法找是非常方便的.由于，，15，我们可将这等式看成是两个独立变量和的形式恒等式，置，有=.根据柯西—黎曼方程，，因此，若将和分别记为和，则我们有.将上式积分之，我们有，（1—36）其中是个任意常数.类似地，若是给定的，令，，我们能证明：,（1—37）其中是个任意常数.例如，设,则，.因此，故.下面我们将讨论可用调和函数描述的一些物理现象.15一、定状态的热传导方程问题我们知道，热通过物体的传导是能量被转移.在物体内每一点处热能流动的时间比率能用向量来表示.在一般情况下，这个向量的长度和方向不随点的位置而变化，而且还随时间而改变.我们

3、仅限于讨论稳定状态问题，即着热流响亮与时间无关.这样，在物体内的热传导强度就由时间坐标的向量函数给出.这样的函数通称为向量场.在现在情况下，这个向量场成为热流密度场，记为.由于它与复变理论有紧密地联系，我们这里只讨论二维热流问题，这就是说，这向量场中的向量都平行于某一个平面∏，并且在垂直于∏的任何一条直线上所有的点处，这个场中的向量（就大小与方向来说）都是相等的.显然，在所有的平行于∏的平面内，这个向量场的情形都完全相同，因此，这个向量场可以由位于平面∏内的向量所构成的一个平面向量场来完全表示出来.说到平面内的一条曲线，是意味着一个柱面，而一个区域是意味着

4、一个柱体.我们把平面∏看成复平面.现在我们来讨论二维未定热流问题，其边界去面如图1.5所示.这平板的上下界面被假定是完全绝缘的，没有热量被这绝缘表面所吸收或散发，这平板侧面界面的某部分曲面余热原湘莲（它发出热能），区域的曲面是绝缘的.热能不可能流进人和绝缘的曲面.这样，热能密度向量奖杯假定是与任何绝缘边界向切的.由于假定热源和热沟的性质与坐标轴是无关的，垂直于平面，所以，平板内的向量场仅依赖于变量和.平板上、下街面的绝缘性保证只有沿轴15和轴的分量，就是说，有分量和.于是便可表示成下述复热流密度形式：.（1—38）其中，和也都是复数的函数.由此可见，二维热

5、能稳定热传导问题只与复数有关.由于通过任何曲线的热能量是单位时间内通过该曲线的热能的流量，则通过微分弧长的微分热流量为，（1—39）其中，是在的外法线方向上的分量；积分（1—40）表示向量场经过曲线的热流量，其中是曲线的弧长的微分.如果用和表示沿曲线的微分，则，其中表示切于曲线的单位向量.若用表示垂直于曲线的单位向量，则，于是，，所以，（1—40）是可以写成.（1—41）热流量的面密度，记经过曲线的热流量对这闭曲线所围面积的比值，当区域收缩成点时所取的极限值，称为向量场在点的散度：.（1—42）但是，根据格林(Green)定理，有.（1—43）显然15.（

6、1—44）若在点处，，则称点为流源（有时只有在的情形才称为流源，而使的点称为流沟）.如果在一个区域内的每一个点处都有=0.（1—45）那么便说，向量场在这个区域内是一个管向量.由上述格林定理可知，向量场在区域内是一个管量场的充要条件是，对区域内任何若当区域的边界曲线,其流量都等于零，即.（1—46）方程（1-45）当且仅当二维稳定热密度向量在既没有热源有没有热沟的地方被满足.我们熟知，热能在一介质中的传导率与在这介质中出现的温差有关，也与产生着温差间的距离有关，也就是说，与温度关于距离的改变率有关.我们继续假定二维热流的热流向量有分量和，设是在可导热介质中

7、的温度，则能说明向量的分量与之间成立着下列关系式：;（1—47a）.（1—47b）这里是一常数，称为热传导系数，它的值与所考虑的介质有关.方程（1-47a,b）等价于“是负乘以温度的梯度”.温度15是作为“势函数”，利用方程（1-47a,b），由它可计算和.借助这些关系式，方程（1-45）可写成，或者.（1—48）因而，在稳定状态条件下，在没有源和沟的地方，导体内的温度是一个调和函数.由于温度是一个调和函数，于是，在对应于导体内部的平面的区域内，它被看成某一解析函数的实部.这解析函数记为,它就是通常所说的复温度.我们有=+.（1—49）这样，复温度的实部就

8、是实际的温度.这复温度的虚部，即，我们称它为流函数，因为它与在流体