第六章-力学量与本征态1

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1、第六章力学量与本征态§6-1量子力学中的力学量一力学量用算符表达量子力学中的两个基本概念●量子态波函数●力学量（具有特定性质的）算符算符代表着对波函数的一种运算（但并不一定都与力学量相对应）：：对波函数取导数，：对波函数乘以，：对波函数取复共轭，725：对波函数开平方根考察位置算符r和动量算符：,（6.1）.（6.2）经典力学中的力学量还有：势能纯位置坐标的函数（算符不变）力速度动量的函数（算符可由动量的对应关系得出）725动能动能(6.3)角动量(6.4)在直角坐标系中的分量表达式725(6.5)角动量算符的模方(的平方).(6.6)角动量在球面坐标系的表示(

2、6.7)725(6.8)（6.9）利用了：，，；，,.725图21-1球面坐标系725二量子力学中的哈密顿量1、哈密顿算符薛定谔方程的普遍形式在量子力学中，薛定谔方程的普遍形式是(6.10)式中是体系的哈密顿算符(=动能函数+势能函数),725(6.11)对于一个粒子在势场V(r)中运动的情况，有,(6.12)讨论：●哈密顿算符决定了体系的量子态随时间的变化规律，在量子力学中占有特别重要的地位。当我们探索用新的理论模型来解释物理现象时，核心问题之一就是要找到该体系哈密顿算符的合理表达式。●式(6.10)并不意味着算符等于算符.725在自然界中真正能够实现的波函数

3、y(t)的演化必须满足薛定谔方程，而绝不是说方程对于任意波函数y(t)都成立。2、定态薛定谔方程当哈密顿算符不显含时间t时，薛定谔方程可以分离变量，对应的定态薛定谔方程(能量本征值方程)为(6.13)yE能量本征函数能量本征值哈密顿算符为能量算符725§6-2本征值和本征函数线性厄米算符一力学量算符的本征值方程1、本征值方程和简并一般情况下，当算符作用在任意波函数上时，其结果往往都是另外一个函数。算符的本征值方程(6.14)算符的725本征函数算符的本征值●在求解本征值方程时，如果作为力学量A的本征态，则还要满足物理上的一些要求。●由力学量算符的相应力学量的可能

4、取值为本征值方程解出的全部本征值。如果用测量仪器测量这个力学量的取值，则只能测得其本征值。●简并度和简并态如果属于本征值的本征态是（>1）个，即力学量A的本征值方程为725(6.15)则称本征值是重简并的。称fn为简并度。在出现简并时，简并态的选择并不是唯一的。在出现简并时，简并态的选择不是唯一的，而且一般说来，这些简并态并不一定彼此正交。但是，可以证明，总可以把它们适当地线性叠加，使之彼此正交。在常见的一些问题中，当出现简并时，为了把某力学量A的简并态确定下来，往往可以用A以外的其他力学量的本征值来对简并态进行分类，此时正交性725问题将自动得到解决。这就涉及

5、到了两个或多个力学量的共同本征态问题。2、角动量的z分量的本征值方程（例子）角动量的z分量的本征值方程,(6.16)本征值改上式为,其解为,(6.17)归一化因子725本征值＝？当时，即当体系绕z轴旋转一周时，体系将回到空间原来的位置。可以证明，为了保证作为一个力学量所相应的算符的厄米性，要求波函数满足周期性边条件,即,.(6.18)则本征值(6.19)725可见，微观体系的角动量在z轴方向的分量的本征值是量子化的，它只能取0,中的一个。相应的归一化本征函数(6.20)2001年4月25日3、动量的x分量的本征值方程（例子）动量的x分量的本征值方程,(6.21)

6、本征值725上式改写为,其解为.(6.22)＝？若粒子位置不受限制，则可以取一切实数值。与连续的本征值相应的波函数所表示的是不能归一化的平面波，习惯上取,(6.23)则有.(6.24)平面波的“归一化”就用725函数的形式表示了出来。在三维情况下，动量算符的本征值方程是,(6.25)动量算符的本征值在直角坐标系中的三个分量px,py和pz均为实数。动量本征值方程的解是,(6.26)为的单色平面波。725在量子力学中，平面波代表粒子处在动量一定、在空间各处出现的概率都相同的状态，这是一种理想化的模型。它不能用通常的办法归一化，而是采用函数的形式“归一化”。二线性厄

7、米算符量子力学的基本假设测力学量A时所有可能出现的值，都是相应的线性厄米算符的本征值。若体系处在的本征态yn，则每次测量力学量A所得结果都是An。7251、线性算符线性算符的运算规则(6.27)wherey1和y2：两个任意波函数，c1和c2：两个量子力学的基本假设描写物理系统的每一个力学变量都对应于一个线性算符。任意常数，一般为复数。证明：此假设来自态叠加原理。why?725设和描写的是某力学量的算符的本征态(简并态)，它们是同属于一个本征值A'。由态叠加原理，线性组合所描写的也必然是属于本征值A'的本征态。得此结论的条件：算符是线性的。why?如果是线性算符

8、，则有；反之，若不是线性