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《第六章-力学量与本征态2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§6-3厄米算符的对易关系一算符的一般运算规则和对易式1、算符之和与积1)单位算符I对于任意的波函数，有.(6.42)2)算符和相等如果对于任意的波函数y,都有,则有.(6.43)3)算符与之和739对于任意的波函数y，有.(6.44)显然：,(满足交换律),(满足结合律)可证:●两个线性算符之和仍为线性算符.●两个厄米算符之和仍为厄米算符。4)算符与之积对于任意的波函数y，有739.(6.45)问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？研究两个算符作用是否与次序有关？2、对易式及其满足的恒等式算符之积一般并不满足交换律，即.●对易式的定义.(6.46)若，则称
2、算符与对易；若¹0，则称算符与不对易。●739两个厄米算符之积一般并不是厄米算符，除非这两个厄米算符可对易。具体而言，若，，则有,(6.47)只有当或时，才有,这时两个厄米算符与的积才是厄米算符。●对易式满足下列恒等式：,,(6.48).7393、逆算符若由能够唯一地解出y，则有.若算符的逆算符存在，则有.可以证明，若与的逆算符均存在，则有.(6.49)二学的基量子力本对易式1、动量算符的各个分量之间可对易,,739.由坐标表象中的动量算符为立即可证.2、量子力学的基本对易式（位置算符和动量算符各分量之间的对易式，重要！）,(6.50)其中或1,2,3，这里
3、用了克罗内克符号.可见，动量算符的各个分量只与位置算符的不同分量对易,,739,,,;动量算符的相同分量之间是不可对易的.凡与经典力学量相对应的力学量之间的对易关系，均可由此导出。显然，克普朗常量在力学量的对易关系中起着关键性的作用。证明:考虑坐标算符x和动量算符的x分量.对于任一波函数y，有,739.将以上两式相减，得.由于y是体系的任意波函数，所以有.其它等式与此类似证明。（典型证法，要掌握）三角动量算符各分量之间的对易式1、角动量算符各分量之间,,,,，(6.51)7392、角动量算符平方与各分量之间.(6.52)3、角动量算符各分量与空间坐标分量之间
4、,,,,,,（6.53）,,.由以上各式可以归纳出以下规则：从左到右，以依次循环指标为正，任一指标“739错位”则为负，相同指标则为零。4、角动量算符各分量与动量坐标分量之间有类似（6.53）的关系。5、若令,(6.54)则有,(6.55).(6.56)[例题21.2]试证明对易式.（要掌握）739[证明]利用基本对易式(21.66)和对易式恒等式(21.64)，可以得到.[例题21.3]试证明角动量算符三分量之间的对易式(21.67)（要掌握）。[解]利用基本对易式(21.66)和对易式恒等式(21.64)，可以得到739,同理可得：,.以上三个关于分量的
5、对易式，在形式上可以合写成一个矢量公式：,(21.76)上式可以看成是角动量算符的定义式，是经典物理学中根本不可能存在的关系式。在经典物理学中，所有物理量都是可对易的，因此对任何矢量A总有A´A=0.然而，在量子力学中，角动量算符739的各分量互不对易，满足式(21.76)，由此决定了角动量的一系列异乎寻常的性质。739§6-4共同本征函数(量子力学中的核心问题)一不同力学量同时有确定值的条件和共同本征函数通常，对大量的、完全相同的、均处在用波函数y描述的状态体系的集合多次测量力学量A，然后对所得的结果求平均，则将会得一个平均值。每一次测量的结果将围绕平均值
6、有一个涨落.(6.57)739若令,(6.58)对于任意两个力学量A和B，普遍的不确定关系为（省略证明）.(6.59)可见：●如果[A,B]¹0，则一般来说DA和DB不可能同时为零，即A与B不可能同时具有确定值，或者说，它们不可能具有共同本征态。●如果[A,B]=0，则可以找到使DA=0739和DB=0同时得到满足的态，即可以找到这两个算符的共同本征态。●可以证明，一组算符具有共同本征函数的充要条件是，这组算符中的任意两个算符都可以对易。例、动量算符的三个分量中的任意两个算符都可以对易，它们的共同本征函数是,相应的本征值是p(px，py，pz)。739二角动
7、量的共同本征函数球谐函数1、角动量z分量的本征值方程以及正交归一化的本征函数,(6.60)(6.61)其相应的本征值为.7392、的共同本征函数考察的本征值方程,(6.62)的本征值，l是待定的无量纲参量的本征函数从和的表达式,可以看出，本征值方程(6.62)可以用分离变量法来求解。取其本征函数为.739(6.63)将它代入本征值方程(6.62)，利用的本征值方程，可得关于函数的方程为.为了保证上述方程解的有限性，待定参量l满足(6.64)通过计算，可以得到的正交归一化共同本征函数为,(6.65)其中的为关联勒让德函数，739为球谐函数(见表6-1)表6-1
8、球谐函数lm00101±1202±12±2，739总
