带电粒子在电磁场中运动的对称美赏析

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1、带电粒子在电磁场中运动的对称美赏析文／朱　欣大自然奇妙而又神秘的对称美普遍存在于各种物理现象、物理过程和物理规律中．从某种意义上讲，物理学的每一次重大突破都有美学思想在其中的体现．用对称性思想去审题，从对称性角度去分析和解决问题，将给人耳目一新的感觉．本文通过对带电粒子在电磁场中的运动问题的分析，体会其中的美学思想和对称美的感受．　一、一片绿叶　　例1　如图1所示，在ｘＯｙ平面内有很多质量为ｍ、电量为ｅ的电子，从坐标原点O不断以相同的速率ｖ０沿不同方向平行ｘＯｙ平面射入第Ⅰ象限．现加一垂直ｘＯｙ平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于

2、ｘ轴且沿ｘ轴正方向运动．求符合条件的磁场的最小面积．（不考虑电子之间的相互作用）　解析　如图2所示，电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为Ｒ＝ｍｖ０／ｅＢ．在由O点射入第Ⅰ象限的所有电子中，沿ｙ轴正方向射出的电子转过1／4圆周，速度变为沿ｘ轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界．下面确定磁场区域的下边界．　设某电子做匀速圆周运动的圆心Ｏ′和Ｏ点的连线与ｙ轴正方向夹角为θ，若离开磁场时电子速度变为沿ｘ轴正方向，其射出点（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（ｘ、ｙ）．由图中几何关系可得ｘ＝Ｒｓｉｎθ，ｙ＝Ｒ－Ｒｃｏｓθ，消去参数θ可知磁场区域的下边界满足的方程为

3、ｘ２＋（Ｒ－ｙ）２＝Ｒ２（ｘ＞0，ｙ＞0）．　　这是一个圆的方程，圆心在（0，Ｒ）处．磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积．磁场的最小面积为　　Ｓ＝2×（（1／4）πＲ２－（1／2）Ｒ２）＝（π－2）ｍ２ｖ０２／（2ｅ２Ｂ２）．　　欣赏　由两条圆弧所围的磁场区域像一片嫩绿的树叶，青翠欲滴!　　二、一朵梅花　　例2　如图3所示，两个共轴的圆筒形金属电极，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝ａ、ｂ、ｃ和ｄ，外筒的外半径为ｒ．在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度大小为Ｂ．在两极间加上电压，使两筒之间的区域内有沿半径向外的电场．一质量为

4、ｍ、带电量＋ｑ的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝ａ的Ｓ点出发，初速度为零．如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两极之间的电压U应是多少?（不计重力，整个装置在真空中）7　解析　如图4所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿出狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动．粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝ｄ．只要穿过了ｄ，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经ｄ重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过ｃ、ｂ，再经回到S点．设粒子进入磁场区的速度大小为ｖ，根据动能定理，有ｑＵ＝（1／2）ｍｖ２．　　设粒子做匀速圆周运动的

5、半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有ｑｖＢ＝ｍｖ２／Ｒ．　　由前面的分析可知，要回到S点，粒子从ａ到ｄ必经过3／4圆周，所以半径R必定等于筒的外半径ｒ，即Ｒ＝ｒ．由以上各式解得：Ｕ＝ｑＢ２ｒ２／2ｍ．　　欣赏　粒子的运动轨迹构成了一朵怒放的梅花，香气迎风而来!　　三、一滴水珠　例3　如图5所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一个质量为ｍ、电量为ｑ、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的

6、O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程．求：（1）中间磁场区域的宽度ｄ；　（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点的所用时间t．解析　（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得　　　ｑＥＬ＝（1／2）ｍｖ２，带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得　　　　　　ｑｖＢ＝ｍｖ２／Ｒ，7由以上两式，可得　　　　Ｒ＝（1／Ｂ）可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图6所示，三段圆弧的圆心组成的三角形△Ｏ１Ｏ２Ｏ３是等边三角形，其边长为2Ｒ．所以中间磁场区域的宽度为ｄ＝Ｒｓｉｎ60°＝（1／2Ｂ）．　（2）在电场中ｔ１

7、＝2ｖ／ａ＝2ｍｖ／ｑＥ＝2，在中间磁场中ｔ２＝2×（1／6）Ｔ＝2πｍ／3ｑＢ，在右侧磁场中ｔ３＝（5／6）Ｔ＝5πｍ／3ｑＢ，则粒子第一次回到O点的所用时间为ｔ＝ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＝2＋7πｍ／3ｑＢ．　欣赏　粒子在两磁场区的运动轨迹形成了一滴水珠，晶莹明亮!　　四、一条波浪　例4　如图7（甲）所示，ｘ≥0的区域内有如图7（乙）所示大小不变、方向随时间周期性变化的磁场，磁场方向垂直纸面向外时为正方向．现有一个质量为ｍ、电量为ｑ的带正电的粒子，在ｔ＝0时刻从坐标原点O以速度ｖ沿着与ｘ轴正方向成75°角射入．粒子运动一段时间后到达P点，P点的