第五章-一维定态问题

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1、§5-5一维定态问题在势场中运动的粒子的薛定谔方程：,对应定态薛定谔方程：,(三维),(一维)用定态薛定谔方程来处理一些一维问题，量子体系的许多特征都可以在这些比较简单的问题中体现出来。697一势能曲线势能是保守力场中只与位置相关的函数。势能曲线给出了一个系统的势能分布及描绘了保守力的分布。保守力＝势能的负值x区间(0,a)<0>0(沿x方向)势阱(a:不受力的平衡位置)：粒子将被(a,c)>0<0(反x方向)束缚其中(b,c)>0<0(反x方向)势垒(c：不稳定平衡位置)：粒子易于(c,d)<0>0(沿x方向)离开平衡位置697若粒子在此势场中，具有能量若粒子越过该势垒，能量守恒要求所以，这

2、个粒子不可能越过势垒bd。697研究一个量子体系（如氢原子，金属中的自由电子的运动，双原子分子，原子核的结构，一个原子核与另一核的相互碰撞、散射等），几乎都可以从体系的能量关系出发进行分析，而绕开相互作用的力，研究一个波动的微观粒子在一个势场中运动规律。这就要解粒子在势场中运动的薛定谔方程，得出相应的运动规律。二无限深方势阱离散谱(1)无限深方势阱697粒子处在无限深方势阱中(5.65)●势阱外势阱壁无限高，在势阱壁上及势阱外波函数为零(粒子不可能穿透无限高的势阱壁)●势阱内当0

3、其中A，k和d是待定常量:A由归一化条件确定，k和d由边条件确定。●束缚态边条件根据薛定谔方程所提出的关于波函数连续性的要求，势阱内697粒子的波函数，必须满足如下的边界条件：.(5.69)i.e.边条件:d=0；(5.70)我们舍去了n=0的情况，因为若n=0，必有yº0，没有物理意义。●能量量子化和零点能由式(5.67),可得,（因为）697(5.71)能量本征值或能级n能量量子数◇当粒子被束缚在势阱中时，体系的能量是量子化的，即所构成的能谱是离散的。◇粒子的最低能级——基态的能量，即粒子具有零点能。经典物理中粒子的基态能量可为零。●能量本征函数及其归一化与能量本征值En相应的波函数（式（

4、5。71）说明，只有当能量取离散值En时，相应的波函数yn才是满足边条件的、物理上可接受的。）697(5.72)利用归一化条件,(5.73).取A为实数，得◇归一化的能量本征函数(5.74)能级n=1,2,3,4的波函数yn以及概率密度

5、yn

6、2见图5-3。◇能量本征函数的正交性对于不同能级的波函数ym和yn，由式(5.74)可得697(using)(5.75)波函数ym和yn互相正交引入克罗内克符号(5.76)一维无限深方势阱中粒子波函数——能量本征函数的正交归一性表为(5.77)697上述积分遍及粒子所能到达的空间。图5-3一维无限深方势阱中的粒子●节点（除端点和外，波函数为零的点）量子态

7、n值节点数基态10第1激发态21第k激发态n-1)k697把体系看成直线上的驻波：节点越多波长越短频率越高能量越高。驻波不形成粒子流的，总有j=0.这很自然：在波函数为实数的情况下，由于，概率流密度j总是为零的。对于一维定态，当粒子处在束缚态时，可以证明能量本征函数具有常数相位，也总有j=0.若粒子处在散射态，例如自由粒子，无上述结论。二线性谐振子697(1)线性谐振子的定态薛定谔方程量子力学中的重要物理模型受微小扰动的物理体系：分子和固体晶格等看成是谐振子系统发射电磁波的物质：谐振子的集合量子场论中的场量子化：采用谐振子模型。线性谐振子或一维谐振子体系在一维空间中运动的粒子的势能为,(5.7

8、8)其中w是常量(振动角频率)，K谐振子的劲度系数，m谐振子的质量，.697(5.79)在量子力学中，将式(5.78)代入式(一维)得线性谐振子的定态薛定谔方程为,(5.80)它是一个变系数二阶常微分方程，可以精确求解。为简洁起见，引进无量纲的参量x和l：,(5.81),(5.82)697则线性谐振子的定态薛定谔方程(5.80)化为.(5.83)(2)波函数y在x®±¥时的渐近行为(与相比)可以略去，方程(5.83)可近似表达为.(5.84)其解（即方程(5.83)在x®±¥时的渐近解）是697y~。严格的谐振子势是一个无限深的势阱，只存在束缚态x®±¥时，y®0.(5.85)因此在上述渐近解

9、中应舍弃y~解：x®±¥时，y~.(5.86)由此，方程的解为.(5.87)u(x)=?697(3)厄米多项式将解（5.87）代入方程(5.83)，得到u(x)应的厄米微分方程.(5.88)●一般情况下，厄米微分方程的解是一个无穷级数，它在x®±¥时的渐近解是u(x)，y不能满足束缚态边条件×。●只有u(x)中断为一个多项式，才能保证束缚态边条件的成立，可以证明，级数只包含有限项的条件是l为奇数6