第二章 一维定态问题

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1、第二章一维定态问题一内容提要1几个重要的一维定态问题[1]一维无限深势阱[2]一维线性谐振子[其中][3]定轴转动子2一维定态问题的性质设[1]如果是定态S.eq的解，那么也是定态S.eq的解。[2]如果则也是定态S.eq的解。[3]如果是x的连续函数，那么和也是连续的；如果为阶梯形方势且有限，那么和也是连续的；如果时，那么连续而不连续；6二例题讲解1设粒子处于一维无限深势阱中，，证明处于能量本征态的粒子，讨论的情况，并与经典力学计算结果比较。证明：经典情况下，在区域中粒子处于范围中的几率为则2设粒子处于一维无限深势阱中

2、，粒子的波函数为，A为归一化常数。[1]求A；[2]粒子处于能量本征态的几率。解：[1]由归一化条件得所以[2]用展开，这表明与的几率几乎相同。3设粒子处于一维无限深势阱中的基态，设时势阱宽突然变为，粒子的波函数来不及改变，即问[1]是否还是能量本征态？[2]粒子处于能量的几率。解：[1]加宽后的一维无限深势阱的能量本征值和本征态分别是：6这表明不是能量本征态。当时[2]将按照展开=得所以粒子处于上能量为，出现的几率为4计算能量的粒子穿透势垒的透射系数。解：相应的定态S.eq为（1）其解为：（2）其中：波函数在处必须满足

3、的连续条件得：波函数值连续：（3）波函数的一阶导数是不连续的，对（1）两边作积分运算得：（4）即：（5）由（3）、（5）两式解得：（6）于是透射系数（7）反射系数为：（8）65粒子在一维势场中运动求归一化波函数。解：粒子没有束缚态。设粒子的能量为则定态S.eq为（1）当时由于则有：（2）当时由于由（1）式得：（3）令则有：（4）由（2）、（4）得：（5）又有在处连续的条件得：（6）则（7）下面求归一化系数A由于且为连续谱，故（7）可归一化为函数。则有利用公式得因为所以则（8）又有公式、得（9）将（9）代入（8）得：得：（

4、10）66一个质量是m的粒子在一维无限深势阱中运动，t=0时刻的初态波函数为[1]求在任意时刻的波函数；[2]体系在t=0和任意时刻t的平均能量；[3]在时刻t，在势阱的左半部发现粒子的几率。解：+[1][2]t=0时同理可得任意时刻t能量平均值同上。[3]三练习1粒子在一维势阱中运动，求粒子的束缚态能级与相应的归一化定态波函数。[，]2粒子限制在二维无限深势阱中运动。求粒子能级与波函数。3试求一维无限深势阱的中心为坐标原点，阱宽为a。试求能级与波函数。4量子体系的平面转子具有转动惯量，转角为[1]求体系的能级和波函数；

5、[2]在t=0时转子的波函数是，求在时的波函数注：（6[答案：]5粒子从右边入射，且粒子能量，求一维阶梯势的反射和透射系数，阶梯势为[答案：，，当时]6一维无限深势阱中粒子质量为，势函数形式为求定态波函数和相应能量。[答案：，]6