圆柱齿轮跨测齿数的精确合理计算

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1、圆柱齿轮跨测齿数的精确合理计算中煤北京煤机公司退休职工周万峰摘要：目前手册上的跨齿数计算公式大都不是精确的公式，因而有时会影响跨齿数的合理性。就是那些精确的公式，它们在角度变位中也是有不足之处的。本文给出一个高度、角度变位都适用的公式，并验证了它是精确合理的。关键词：公法线长度，公法线长度原始计算值，公法线长度测量点所在圆。1、本文给出一个精确、合理的跨齿数计算公式目前手册上的跨齿数计算公式大都是近似的，有误差的，并非精确的计算公式，因而有时影响跨齿数的合理性。就是那些精确的公式，它们在角度变位中也是有不足之处的。而且至今在手册上似乎还

2、未见到有斜齿精确的跨齿数计算公式。有人说：“手册上的不就是标准斜齿轮跨齿数精确的计算公式吗？”不，它算出的也是近似值（文章后面进行验证）。笔者已退休多年，精力尚可，因而对此进行了研究、探讨，于是给出一个高度、角度变位都是情况良好的公式。公式为：（用于直齿）（1）（用于斜齿）（1）公式中的和当为高度变位直齿时，；斜齿时，。当为角度变位直齿时，；斜齿时，上列公式中：——分度圆直径；——基圆直径；——模数，斜齿时为；——齿数；7斜齿轮的假想齿数，；压力角，斜齿轮法面压力角为——变位系数，斜齿时法面变位系数为；斜齿轮基圆螺旋角；——直齿轮的公法

3、线长度原始计算值；——斜齿轮的公法线长度原始计算值。2、公式（1）的由来公式（1）是怎么来的？其实它的来历很简单，就是由公法线长度计算公式变换而来的。公法线长度计算公式为：（直齿）（2）（斜齿）（2）将公式（2）中的移到等号左边，将和移到等号右边（且变为和）即为公式（1）。众所周知，公式（2）中的和是根据跨齿数计算公式算出的k值，经4舍5入后代入公式（2）中计算出来的公法线长度。设想：如果将跨齿数计算公式算出的k值不进行4舍5入，而代入公式（2）中算出的显然就不是而是笔者称为“公法线长度原始计算值”（这是个新的概念，以前没有这个说法）。

4、在公式（1）的等号右边只有和是未知的，其它均为已知。如果能将和计算出来，然后反过来推算k值，那么，这样算出的k值不就是k的精确值了吗？图1公法线长度原始计算值7和能事先计算出来吗？答案是肯定的。因为每个齿轮，只要它的模数、齿数、压力角、变位系数和螺旋角为已知的话，那么它的公法线长度原始计算值和就是确定的。今用直齿推导的计算式。请看图1：显然△ADO是直角三角形，因而,AD=。AD是的一半，（），DO是基圆半径AO是公法线长度测量点（量具卡脚与齿廓的切点）所在圆的半径；因为公法线长度的测量点应在齿高的中点部位，而变位齿轮齿高的中点部位是“

5、d+2xm圆”，故AO=。因而，整理此式，则，这样就将计算出来了（斜齿的与直齿的之间有个的关系，故）。和计算出来了，精确的k值也就计算出来了。公式（1）就是这样来的。但斜齿的公法线长度计算式中，已将斜齿看成是齿数为的直齿轮了，因而斜齿的公式中就、、了。也就是说斜齿的公式中就没有这样的写法了，因为是直齿了嘛。又因为公式（1）中的m与k无关，故将m去掉。所以整理、简化后的公式（1）为下面的形式：=（用于直齿）（用于斜齿）式中的当为高度变位直齿时，，斜齿时，公式中的当为角度变位直齿时，，斜齿时，。式中的为斜齿轮分度圆螺旋角，为斜齿轮端面压力角

6、。跨齿数用公式(1)或公式（）计算都是可以的，但直齿用公式()计算较为简单些，斜齿并不省事。有人可能问了：“公式（1）与公式（）到底哪个是合理的？”笔者认为公式（）更合理。因为你已经将斜齿轮看成是齿数为的直齿轮了，故它就没有端面、法面之分了。既然这样，斜齿的公式中再有等写法就不好解释了。那么公式（2）中的斜齿式中为何又有7这样写法呢？因为手册的斜齿公式中是这样的写法，如果推导公式（1）时，公法线长度计算式中就没有这样的写法了，那读者就会丈二金刚——摸不着头脑了。为使读者对公式的推导过程一目了然，故推导公式（1）时，斜齿的公式中仍有这样的

7、写法。有读者问了：“为何角度变位齿轮公法线测量点所在圆不是“d+2xm圆”，而是“d+1.9xm圆”了呢？这是因为：以“d+2xm圆”作为公法线测量点所在圆导出的公式对高度变位齿轮时情况是良好的（所谓情况良好，是说测量点一般都在齿高的中点部位），而在角度变位中，有时公法线的测量点靠近齿顶，情况不良。测量点靠近齿顶显然是跨齿数偏多所致，故应设法减小K值。怎样减小呢？从公式（1）看出，欲减小K值只有减小和的值。，故欲减小则只有减小常数“2”。如将“2”减小过多，对x＞0的正变为齿轮而言则跨齿数会偏少，这样测量点又会靠近齿根，情况同样不良。笔

8、者经过验算，公式（1）在角度变位中则是以“d+1.9圆”为测量点所在圆（意在使X＞0时跨齿数减少，测量点下移）比较合适。这样一来角度变位齿轮就不会有公法线测量点靠近齿顶的情况出现了。那么公式（1）为何在角度