数值分析课程设计--关于牛顿迭代法解方程的研究

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1、数值分析课程设计报告学生姓名：学生学号：所在班级：所在专业：指导教师：实习场所：实习时间：课程设计成绩总评学习态度报告质量6关于牛顿迭代法解方程的研究一．Newton迭代法的基本思想1.设是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在处作泰勒展开：2.若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化)，则得近似的线性方程3.设,令其解为,得这里（1）称为的牛顿迭代公式。它对应的迭代方程为显然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函数为（）在f(x)=0的根的某个邻域内,在的邻域R内，对任意初值，应用公式（1）来求解方程的方法称为牛顿迭代法。二．牛顿迭代的几何意义。由(1)式

2、知是点处的切线与X轴的交点的横坐标（如图）。也就是说，新的近似值是用代替曲线y=f(x)的切线与x轴相交得到的。继续取点,再做切线与x轴相交，又可得。。。由图可见，只要初值取的充分靠近,这个序列就会很快收敛于。6因此，牛顿迭代也称为切线法。二．牛顿迭代的基本步骤步一、准备。选定初始近似值，计算步二、迭代。按公式迭代一次，得到新的近似值，计算，步三、控制。如果满足或.则终止迭代，以作为所求的根；否则转步四。此处是允许误差,而其中c是取绝对值或相对误差的控制常数，一般可取c=1。步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者则方法失败；否则以代替转步二继续迭代。6二

3、．例题操作用牛顿法求下面方程的根解因,所以迭代公式为选取,计算结果列于下表n1234x1.1.1.1.从计算结果可以看出,牛顿法的收敛速度是很快的,进行了四次迭代就得到了较满意的结果.五.牛顿迭代的收敛条件设在根区间上存在二阶导数且满足：（1）（2）（3）（4）初值：且则牛顿迭代序列收敛于在内有唯一根。六．牛顿迭代的优缺点1、优点：牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方。2、缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要

4、计算微商值。七．实验总结通过本次实习，我初步了解了matlab软件，并进一步加深了对课本知识的了解，相信对日后的学习工作会起到不小的帮助。6八．附录牛顿迭代程序：functiony=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)x(1)=x0；b=1；i=1；while(abs(b)>eps1*x(i))i=i+1；x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))；b=x(i)-x(i-1)；if(i>nn)error(ˊnnisfullˊ)；return；endendy=x(i)；iend程序中调用的n_f.m和n_df.

5、m文件如下：functiony=n_df(a,n,x)%方程一阶导数的函数y=0.0;fori=1:ny=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);endfunctiony=n_df(a,n,x)y=0.0；6fori=1:ny=y+a(i)*(n+１-i)*xˆ(n-i)；end6