龙格库塔间断有限元方法在计算爆轰问题中应用

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1、龙格库塔间断有限元方法在计算爆轰问题中的应用张磊1,2[收稿日期]xxxx-xx-xxx；[修改日期]xxxx-xx-xx[基金项目]国家973计划（2005CB321703）和国家自然科学基金（10531080,10729101）资助项目，袁礼11.中国科学院数学与系统科学研究院计算数学所，科学与工程计算国家重点实验室，北京100190；2.中国矿业大学(北京)理学院，北京100083[摘要]构造了求解带源项守恒律方程组的龙格库塔间断有限元（RKDG）方法，并分别结合源项的Strang分裂法和无分裂法数值求解模型守恒律方程和反应欧拉方程。为了和有限体积型WENO方法进行比

2、较，设计了计算源项的WENO重构格式。对一维带源项守恒律的计算表明，对于非刚性问题，RKDG方法比有限体积型FVWENO方法的误差更小，而对于刚性问题，RKDG方法对于间断面位置的捕捉更为精确。对于一二维爆轰波问题的计算结果表明，RKDG方法对于爆轰波结构的分辨和爆轰波位置的捕捉能力更强。[关键词]龙格库塔间断有限元方法；爆轰波；反应Euler方程；刚性源项[中图分类号]O241.82[文献标识码]A引言在非平衡气体动力学中，爆轰问题通常被描述成无粘性的化学反应流动问题，其物理模型是一个非齐次双曲守恒律方程组，通常被称作反应欧拉方程组（reactiveEulerequatio

3、ns），其中非齐次项（源项）通常被解释为由于化学反应引起的混合组分的质量变化率[1]。最简单的反应欧拉方程组假定混合气体仅仅由两种组分构成：已燃气体（burntgas）和未燃气体（unburntgas）[2]。当混合气体达到点火温度时，未燃气体通过一个不可逆的化学反应转化为已燃气体，因此，混合气体状态可以用一个标量，即未燃气体的质量分数Y来表示，进一步假设混合气体各组分具有相同的比热比和比气体常数R，则二维反应欧拉方程组可以写成如下形式,（1）其中，各个变量和函数的具体形式为13式中是混合气体的密度，分别是沿方向的速度分量，分别是压力，总能量，温度。称为化学反应率，通常用Ar

4、rhenius模型（2）其中是化学反应率因子，是活化能。此外混合气体的状态方程和温度分别为（3）其中为单位质量未燃气体发生化学反应所释放的热量。在实际爆轰波问题中，化学反应的时间尺度远小于流体流动的时间尺度，所以非齐次方程组具有很强的刚性，给数值求解带来很大困难。无论对源项用不用算子分裂方法，采用显格式还是隐格式，在处理间断解问题时，都可能得到非物理解。这是因为当源项不能用足够的空间和时间分辨率进行求解时，激波捕捉方法会得到错误的爆轰波传播速度[3,4,5]。文[5]发现，当空间分辨率不够时，一个同时含有已燃气体和未燃气体的网格中会发生虚假反应，数值爆轰波会以每个时间步一个空

5、间步长的速度传播。文[6]也指出计算的数值误差极可能促成温度敏感化学反应的提早发生。因此，要获得正确的爆轰波位置，常用的解决方案是采用合适的点火温度模型来抑制虚假反应[3]，或者采用网格自适应方法[7,8,9]来保证反应区域内有足够多的网格点，或者采用高精度高分辨率方法来保证对反应区有足够高的分辨率。由于后两种途径有更好的普适性而受到更多的关注。由Cockburn和Shu等人发展的龙格库塔间断有限元方法（Runge-KuttaDiscontinuousGalerkinMethod，RKDG）是一类具有高精度和高分辨率的数值方法[10]，在解决含有间断现象的问题中发挥着越来越重

6、要的作用，它被广泛地发展和应用于水动力学，气动力学，波传播，半导体中的电荷传输等问题。该方法既保持了一般有限元方法和有限体积方法的优点，又克服了各自的不足。该方法可采用局部高阶插值的方法构造基函数，具有灵活处理间断和边界条件以及可显式求解的能力，克服了一般有限元方法不适于间断问题的缺点，以及一般有限体积方法必须通过扩大模板进行重构来提高精度的不足。RKDG方法所具有的单元上连续分布的高精度高分辨率逼近特性有望能更好地模拟爆轰波问题。本文应用RKDG方法，结合化学源项的无分裂方法及算子分裂方法，13对爆轰波问题进行数值模拟，并和有限体积型WENO（FVWENO）方法的计算结果进

7、行比较。由于FVWENO方法需要利用流动变量单元平均值来计算源项的单元积分，本文采用Simpson积分公式，其积分点处的流动变量采用WENO重构以提高计算精度。对于带源项的一维守恒律的数值测试结果表明，对于非刚性问题，RKDG方法计算结果的误差更小；而对于刚性问题，RKDG方法对于间断波位置的捕捉能力更强。对典型的一二维爆轰波算例，包括二维不稳定爆轰波和爆轰波绕过90°拐角的衍射问题的数值模拟结果显示RKDG法仍有一定优势。1数值方法1.1空间离散本文的空间离散采用RKDG方法[10]。设是区域的一个有