小议“线段”和的证明方法

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1、小议“线段和”的证明方法【摘要】利用三角形或四边形的相关性质从等量与不等关系出发小议“线段和”的证明方法。【关键词】线段和；等量；不等“线段和”的证明是利用三角形或四边形的相关性质寻找和构造等量（或不等）关系，问题的关键在于如何“转化”。本文将分别从等量和不等两种关系出发，小议其证明方法。一、等量关系证明“线段和”的等量关系主要要有“合二为一”和“一分为二”两种思路：1、合二为一，即在形如“a+b=c(其中c又可以表示为d+e)”的问题中，试证明a,b分别与c，d对应相等。例如：例1．如图1，ABC中，AB=AC，点P选

2、BC上的任意一点，PE∥AC,PF∥AB,分别交AB，AC于E，F求证：PE+PF=AB分析：本题中AB可表示为AE＋BE，因此只需证AE，BE分别与PF，PE对应相等即可。证明：∵PE∥AC,PF∥AB∴四边形AEPF是平行四边形∴AE=PF又∵PE∥AC，∴∠EPB＝∠C，AB＝AC∴∠B＝∠C，∴∠EPB＝∠B∴BE＝EP,∴AB＝AE＋BE＝PF＋PE2、一分为二，即在形如“a+b=c”的问题中，在线段c上截取线段d,使得a=d,再证明b与c上剩下的一段线段相等。（可概括为“一截，二证，三相等”）。例如：例2．如

3、图2，已知P是三角形ABC底边上的任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF为腰上的高，求证：PD＋PE＝BF。分析：本着“一截，二证，三相等”的解题思路，该题可在BF上截取BG,使得BG＝PD，再证明GF＝PE即可。证法一：在线段BF上截取BG，使得BG＝PD，连接PG（见图2）∵AB＝AC，PD⊥AB，BF⊥PD∴△PDB～△BFC，∴∠FBC=∠DPB又∴BG=PD，∠GBP（∠FBC）=∠DPB，PB=BP∴△BDP≌△PGB，∴∠BGP=90°，即PG⊥BG∴四边形PEFG为矩形∴GF=PE则BF=BG+G

4、F=PD+PE在证法一中我们发现，证明△PDB≌△BFC和△BDP≌△PGB的目的只有一个，只为得到∠BGP=90°。这就为我们提供了第二种证明思路。证法二：过点P作PG⊥BF，交BF于点G（见图3）∵PG⊥BF，BF⊥AC，PE⊥AC∴四边形PEFG为矩形，∴GF=PE又∵PG⊥BF，BF⊥AC∴PG∥AC，∴∠GPB=∠C=∠DBP∵∠PDB=∠BGP=90°，∠DBP=∠GPB，BP=PB∴△DBP≌△GPB，∴PD=BG则BF=BG+GF=PD+PE由证法二我们可以体会一分为二的“一截”并不是一定要用截取的方法，

5、用作平行线的方法也可以得到相同的效果！由于该题的图形较特殊，我们还可以用“等面积”法为其提供证明。证法三：连接AP（见图4）∵因为BF为等腰△ABC的腰AC上的高∴S△ABC=×AC×BF又∵PD⊥AB，PE⊥AC，AB=AC∴S△ABC=S△APB+S△APC=×AB×PD+×AC×PE=×AC×(PD+PE)∴BF=PD+PE其实，证法三中暗含了“合二为一”的证明思路，它为我们拓宽了“合二为一”的适用范围。二、不等关系“线段和”的不等关系以“线段和”的最大值，最小值的形式出现。例如：例3.如图5.设正三角形ABC的边

6、长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记做s和t，则-为多少？分析：点P是线段BC上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值就与点P所处的位置有关。解：连接CM（见图6）当点P运动至点C时，有PA+PM≦AC+CM=2+。因此，PA+PM的最大值为2+，即S=2+过点C作CD∥AB，过点B作BD∥AC，记BD的中点为M′，连接CM′，连接AM′交BC于点P′。解：∵CD∥AB，BD∥AC，AC=AB,∴四边形ABDC为菱形∴AB=BD=CD=BC∴∠ACM′=90°PA+PM≧AP

7、′＋P′M′＝AM′＝＝因此，PA+PM的最小值为，即t＝＝我的大学爱情观目录：一、大学概念二、分析爱情健康观三、爱情观要三思四、大学需要对爱情要认识和理解五、总结1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大

8、学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1)尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2)理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足;3)是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱