《证明线段相等,角相等,线段垂直》的方法总结

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1、《线段相等，角相等，线段垂直》方法总结一.证明线段相等的方法：1.中点2.等式的性质性质1：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。若a=b那么有a+c=b+c性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c（a,b≠0或a=b，c≠0）3.全等三角形4借助中介线段（要证a=b，只需要证明a=c，c=b即可）二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补

2、角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直94证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等《线段相等，角相等，线段垂直》经典例题1.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”　　本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．　　　　

3、　　　　　　　　　　　例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．　　　　　3.利用等腰三角形三线合一　　例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。94.利用定理　　定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。　　例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。　　　　5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。　　基本图形：　　　P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，

4、所以AD=DP。例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。　6.利用角平分线的对称性。　　例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。　　7.角平分线与垂直平分线综合　　例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．9　　（1）求证：BE=CF．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　《线段相等，角相等，线段垂直》经典例

5、题（解答部分）一、平分线的应用。　　几何题中，经常出现“已知角的平分线”这一条件。这个条件一般有下面几个方面的应用：　　（1）利用“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的性质，证明两条线段相等。　　（2）利用角是轴对称图形，构造全等三角形。　　（3）构造等腰三角形。二、应用举例：　　1.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证AD平分∠EAC。　　证明：因AB=AC，故∠B=∠C。　　又因AD//BC，故∠1=∠B，∠2=∠C，　　故∠1=∠2，即AD平分∠EAC。2、基本图形“双垂直”　　本节常用辅助线

6、是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．　　　　　　　　　　　　　　　　　分析：观察已知条件中提到与，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定结论可得。　　证明：作于M，于N　　　　　，，且　　　　　　　　　　又9　　　　　　　　　　又　　　　　平分例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．　　分析:在初一学习平行线时就围绕这个图做过很多练习，当时我们证明过DE垂直AE等。还是这个图条件变了，由角平分线

7、条件不难想到做辅助线构造“双垂直”的基本图形，用“角平分线性质”推得距离相等，再由另一侧距离相等用“角平分线判定”AE为角平分线。　　证明：作于F　　　　　平分，，　　　　　　　　　　又E是BC的中点　　　　　　　　　　　　　　　又，　　　　　AE是的平分线　3.利用等腰三角形三线合一　　例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。证明：连结EF并延长，交AD的延长线于G，则ΔFDG≌ΔFCE，　　故CE=DG，EF=GF，于是AG=AD+DG=DC+CE=AE。　　又因E

8、F=GF，故AF是等腰三角形的底边上的中线，于是AF平分∠DAE。4.利用定理　　定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。　　例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P