线段和差证明

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1、授课教案教学标题线段和差的证明方法教学目标熟练掌握截长补短法在全等三角形中的应用.教学重难点重点掌握利用截长补短法添加辅助线的方法.上次作业检查授课内容：一．热身训练寻求中点证明线段“倍”的问题如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，BD是中线，AF⊥BD，F为垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E.⑴求证：∠ABD=∠FAD；⑵求证：AB=2CE.二．知识梳理三条线段之间的和差问题一般通过全等转化为两线段相等的问题⑴等量代换法：a=b-c（a,b,c三条线段不在同一条直线上，通过等量代换将b、c转换成同一条直线上的e,f，且使a=e-f）⑵截长补

2、短法：a=b+c截长法：将较长的线段a分成两部分，一部分作图使e=b，另一部分证明f=c，且a=e+f.补短法：将较短的线段b延长，构建出一个b+c=d来，然后利用全等证明a=d即可.三．典型例题例1.如图，已知△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F.⑴求证：EF=CF-BE；⑵若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.分析：通过全等，把AE转换成CF，AF转换成BE即可.图形发生改变，结论一般发生改变，但是证明

3、的思路是不发生太大改变的.例2.(年北京中考题)已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．　　分析：通过测量可猜出：，利用截长补短法证明此结论.理由是：在上截取，连结，利用证得≌，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，利用证得≌，∴，∴．例3.如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．分析：证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和()，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证

4、中长线段()上截取与线段中的某一段(如)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段()相等．我们用(1)法来证明．例4.E为正方形ABCD的边BC的中点，AE平分∠BAF，求证：AF=BC+CF.分析：①倍长中线，补短法，延长AE、CD交于点M；②补全角平分线的基本图形，截长法，连接EF，过点E作EM⊥AF.一．课堂练习见学案二．课后反思：1.线段和差关系的证明方法；2.截长补短法的应用.学案热身训练寻求中点证明线段“倍”的问题如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，BD是中线，AF⊥BD，F为垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E.⑴求证：∠A

5、BD=∠FAD；⑵求证：AB=2CE.例1.如图，已知△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F.⑴求证：EF=CF-BE；⑵若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.例2.(年北京中考题)已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．例3.如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．例4.E为正方形ABCD的边BC的中点

6、，AE平分∠BAF，求证：AF=BC+CF.如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E为AD中点，求证：BC=AB+CD.已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.