第十三章检验与方差分析

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1、第十三章检验与方差分析我们前面已经比较系统地讨论了双样本的参数和非参数检验的问题。现在，我们希望利用一般的方法来检验三个以上样本的差异，检验法和方差分析法就是解决这方面问题的。检验法可以对拟合优度和独立性等进行检验，方差分析法则可以对多个总体均值是否相等进行检验。后者由于通过各组样本资料之间的方差和组内方差的比较来建立服从F分布的检验统计量，所以又称F检验。第一节拟合优度检验1．问题的导出第十一章最后一节，我们将累计频数检验用于经验分布与理论分布的比较，实际已经提供了拟合优度检验的一种方法。拟合优度检验与累计频数拟合优度检验相对应，在评估从经验上得到的频数和在一组特定的理论假设下期望

2、得到的频数之间是否存在显著差异时，是一种更普遍的检验方法。2．拟合优度检验(比率拟合检验)据经验分布来检验总体分布等于理论分布的零假设，检验统计量是＝理论证明，当n足够大时，该统计量服从分布。因此对给定的显著性水平α，将临界值与比较，可以就Ho作出检验结论。对于拟合优度检验，在试验规模小时，否定零假设的意义大，接受零假设的意义不大；若试验规模大时，则接受零假设的意义大，否定零假设的意义不大。3．正态拟合检验第二节无关联性检验检验的另一个重要应用是对交互分类资料的独立性检验，即列联表检验。由于列联表一般是按品质标志把两个变量的频数进行交互分类的，所以，①检验法用于对交互分类资料的独立性

3、检验，有其它方法无法比拟的优点；②如何求得列联表中的理论频数就成了独立性检验的关键。61．独立性、理论频数及自由度检验统计量＝＝进一步上式可变为＝n在使用检验法进行列联表检验之前，还必须确定与这个检验统计量相联系的自由度，即(r×c-1)-(r-1)-(c-1)＝(c-1)(r-1)。2．关于频数比较和连续性修正用卡方作为列联表的统计量，有两点我们应该特别注意。首先，列联表检验是通过频数而不是通过相对频数的比较进行的。其次，使用卡方对列联表进行检验．每一格理论频数必须保持在一定数目之上。3．列联表的卡方分解若一个复杂的列联表具有显著性，有时需要检查子表以确定表格的那一部分卡方影响最大

4、。一种可行的简便方法就是考察每一格的残差，其公式为＝根据计算结果可以知道哪一个残差对卡方影响大。另一种方法是利用卡方分布的可加性，把r×c表的总体卡方分解为若干独立部分。4．关系强度的量度到目前为止，本节一直在讨论列联表变量间是否存在关系。其方法是建立变量间无关系的零假设，然后再试图否定它。然而，对变量间是否存在关系的讨论，必然引出对变量间关系强弱的讨论。在样本小的时候，获得显著性即表明变量间有强关系。对大样本来说，更重要的问题是：“如果变量间存在关系，其强度有多大?”现在由于PRE准则，许多不同测量层次的变量已经可以统一起来进行关联强度的讨论了。第三节方差分析方差分析，是一种很重要

5、的分析方法，它可以检验两个以上样本均值之差。方差分析是均值差检验的推广，一般用于处理自变量是一个（或多个）定类变量和因变量是一个定距变量之间的关系。方差分析所包含的假定与均值差检验所包含的假定差不多，例如正态分布、独立随机样本、等方差性等，但检验本身却很不相同。方差分析直接涉及的是方差而不是均值和标准差。同时，比较也不取两种估计量之差，而是取两种估计量的比率。在两种估计量彼此独立的前提下，两种估计量之比率F具有已知的抽样分布，因而可进行很简单的检验。61．总变差及其分解第十二章已经引入了变差的概念。但在方差分析中，由于自变量都是定类变量，我们不能像回归分析那样找出自变量和因变量的线性

6、或非线性关系，即不能确定自变量X取不同值时因变量Y的拟合值Yc，而只能研究自变量X取不同类别时，因变量Y的均值是否有所不同。但是在三种变差的讨论中，和Yc的地位是一样的。所以，有了上一章的知识，方差分析的方法是不难掌握的。首先我们看总变差。总变差这个概念不同于方差，在方差分析中记作SST，它表示对于总均值的偏差之平方和，即SST＝为什么会形成总变差这个散布度呢？显然有两个原因：一是三个样本可能不同，这使全部数据有三个“中心”；二是随机抽样误差的影响，使数据在每个中心附近有散布。这样，将总变差分解成两部分。第一部分是各观测值对其所属类别均值的偏差的平方和，称为组内变差，记作SSW。组内

7、变差反映了数据围绕各“中心”的散布程度，即反映了因随机波动所产生的变异，与自变量因素无关。换言之，SSW是自变量因素所没有解释的的变异。因此，又称之为残差。第二部分是组间平方和，记作SSB，它涉及到诸类别均值对总均值的偏差，反映数据在c个“中心”附近的散布程度。2．关于自由度弄清了组间变差和组内变差，检验零假设(H0：μ1＝μ2＝…＝μc)的思路也就梳理出来了：关键是比较两种变差是否有显著差异。但在统计学上，方差分析不取两者之差而取两者之比来进行这种比较。