2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析

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1、2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分）（1）若函数在处连续，则（）。。。。【答案】【解】，，因为在处连续，所以，从而，应选。（2）设函数可导，且，则（）。。。。【答案】【解】若，则，从而；若，则，从而，故，应选。（3）函数在点处沿向量的方向导数为（）。。。。【答案】【解】，，，，，，，所求的方向导数为，应选。（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方（单位：）处，图中，实线表示甲的速度曲线（单位：），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依

2、次为，计时开始后乙追甲的时刻为（单位：），则（）。。。。【答案】【解】（5）设为维单位列向量，为阶单位矩阵，则（）不可逆。不可逆。不可逆。不可逆。【答案】【解】令，，令，由得，或，因为得的特征值为，的特征值为，从而，即不可逆，应选。（6）已知矩阵，则（）与相似，与相似。与相似，与不相似。与不相似，与相似。与不相似，与不相似。【答案】【解】的特征值为，由得，则可相似对角化，从而；由得，则不可相似对角化，从而与不相似，应选。（7）设为随机事件，若，则的充要条件是（）。。。。【答案】【解】由得，等价于；等价于，即，应

3、选。（8）设（）为来自总体的简单随机样本，记，则下列结论不正确的是（）服从分布。服从分布。服从分布。服从分布。【答案】【解】若总体，则，，因为总体，所以，，再由得，从而，不正确的是，应选。二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分）（9）设，则。【答案】【解】，由得。（10）微分方程的通解为。【答案】【解】特征方程为，特征值为，通解为。（11）若曲线积分在区域内与路径无关，则。【答案】【解】，，，因为曲线积分与路径无关，所以。（12）幂级数在区间内的和函数为。【答案】。【解】。（13）矩阵，为线性无关的三维

4、列向量组，则向量组的秩为。【答案】2【解】，因为线性无关，所以可逆，从而，由得，故向量组的秩为2。（14）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布的分布函数，则。【答案】【解】的密度为，。三、解答题（15~23题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。（15）（本题满分10分）设函数具有二阶连续的偏导数，，求，。【解】，；，则。（16）（本题满分10分）求。【解】。（17）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值。【解】两边对求导得，令得，对应的函数值为，；两边再对求导得，由得为极小点，极

5、小值为；由得为极大点，极大值为。（18）（本题满分10分）设函数在上二阶可导且，。证明：（）方程在内至少有一个实根；（）方程在内至少有两个不同的实根。【证明】（）由得，又存在，当时，，即当时，于是存在，使得，因为，所以存在，使得。（）令，因为，所以由罗尔定理，存在，使得，而，故，即在内至少一个实根。（19）（本题满分10分）设薄片型物体是圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的密度为，记圆锥面与柱面的交线为。（）求在平面上的投影曲线方程。（）求的质量。【解】（）由得，故在平面上的投影曲线为（），由得，则。（20

6、）（本题满分11分）设3阶矩阵有三个不同的特征值，且。（）证明：（）若，求方程组的通解。【证明】（）设的特征值为，因为有三个不同的特征值，所以可以相似对角化，即存在可逆矩阵，使得，因为两两不同，所以，又因为，所以线性相关，从而，于是。（）因为，所以基础解系含一个线性无关的解向量，由得的通解为（为任意常数）。（21）（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准型为，求的值及一个正交矩阵。【解】，，，因为，所以。由得。由得。由得对应的线性无关的特征向量为；由得对应的线性无关的特征向量为；由得对应的线性无关的特征向量

7、为。规范化得，，，故正交矩阵为。（22）（本题满分11分）设随机变量相互独立，，的密度为（）求。（）求的概率密度。【解】（），。（），当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，即密度为。（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量，该物体的质量是已知的，设次测量结果相互独立且均服从正态分布。该工程师记录的是次测量的绝对误差（），利用估计。（）求的概率密度。（）利用一阶矩求的矩估计量。（）【解】（）由得，的分布函数为，当时，；当时，，的密度函数为（），由得的矩估计量为。（）

8、似然函数为()，，由得，故的最大似然估计量为。