2016全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析

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1、2016考研数学（一）真题及详细答案解析一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.•••(1)xa(1+兀)“dr收敛，则（(A)avlJLb>l(B)a>lllb>l(C)avlJLa+b>1(D)a>lJDLa+b>1【答案】（C）z、2（x-},x<1z、（2）已知函数/（x）='丿，则/（x）的一个原函数是（）lnx,x>1(A)FSH(C)%)二(x-1)2,x<1x(lnx-l),x>1(x-1)2，兀v1x(lnx+l)+l,x>1

2、(3)%H（D）F心(X-1)2,X<1x(lnx+l)-l,x>1(x-1)2,x<1x(lnx-l)+l,x>1【答案】(D)(3)若y=(l+x2)2-Vl+x2,y=(l+x2)2+Vl+x2是微分方程：/+讥x)y=q(x)的两个解,则g(兀)=()(A)3x(1+F)(B)-3x(1+x2)(C)F(D)-浪【答案】(A)x,x<0（4）己知函数f（x）=<1J1，则（）—,vxW—,n=1,2,...n/7+1n（A）x=0是/（兀）的第一类间断点（B）兀=0是/（兀）的第二类间断点（C）/（对在x=0处连续但不可导（D）/（兀

3、）在兀=0处可导【答案】（D）（5）设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）（A）屮与相似（B）4"与3"相似（C）A+屮与B+B7"相似（D）A+A_,与B+B"相似【答案】（C）（6）设二次型/（XPX2,X3）=X,2+x224-X32+4西兀2+4兀］兀3+4兀2兀3，则f（Xj,x2,x3）=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（D）柱面【答案】（B）（7）设随机变量X〜N（//q2）（ct>0）,记p=p{x

4、卩随着<7的增加而增加（C）”随着“的增加而减少（D）/?随着（7的增加而减少【答案】（B）（8）随机试验E有三种两两不相容的结果人，企,人，且三种结果发生的概率均为£，将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果£发生的次数，匕表示2次试验中结果仏发生的次数，则X与Y的相关系数为（）（缺失）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.•••【答案辽(10)向量场A(x,y,z)=(x+y+z)i+xyj+zk的旋度rotA=【答案】(0,1,y-1)(11)设函数/(w,v)可微,z=z(x,y)由方程(x

5、+l)z-y2=x~f{x-z.y)确定,则dz(o,])=【答案】—dx+2dy【答案近(13)行列式20-120-10000A-14322+1【答案】才+才+2才+3/1+4(14)设占,无2,…，兀为来自总体2(“心)的简单随机样本，样本均值%=9.5,参数“的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则“的置信度为0.95的双侧置信区间为【答案】(8.2,10.8)三、解答题：15-23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定位置上•解答应写出文字说明、•••证明过程或演算步骤.(15)(本题满分1()分)己知平面区域D=（厂

6、,&）25厂52（1+cos<0<—>,计算二重积分jjxdxdy.D32【答案】5^+—3(16)(本题满分10分)设函数)，(兀)满足方程)，+2y+炒=0,其中0v£<1.(I)证明：反常积分y(x)dx收敛；(II)若y(0)=1,y(0)=1,求匚yMcbc的值.3【答案】II)-k(17)(本题满分1()分)设函数/(兀,y)满足"少=(2兀+1)戶二且/(0,刃二y+1,厶ax是从点(0,0)到点(1丿)的光滑曲线计算曲线积分/(r)=£求/(/)的最小值【答案】3（18）设有界区域Q由平iki2x+y+2z=2与三个坐标平面围

7、成，刀为Q整个表面的外侧,计算曲面积分/=+llydz-2ydzdx--3zdxdy【答案丐（19）（木题满分10分）已知函数/（兀）可导,且/(0)=1,0

8、>设数列此｝满足£+]=/（£）（〃=1,2…），证明:n+l8（I）级数工（£+]-£）绝对收敛;n=l(II)lim存在，且0vlim£<2・〃T8n—>©o【答案】略（20）（本题满分11分）设矩阵A=(1-1-1>（22、2a1,B=1a<-11a丿、一a-1一2丿有无穷多解?当。为何值时，方程AX=B无解、有唯一解、【答案】。=_2时，无解；。=1时，有无穷多

9、解，X=时，有唯一解，X3q、a+2a-4a+20-1—伦—1;d工—2目.QH1k2)（21）（本题满分11分）已知矩阵A-30noo;7（I）求屮9记B's=0