2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题及答案解析

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1、2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题与全面解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.下列函数中在处不可导的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】()【解析】根据导数定义，A.，可导；B.,可导；C.，可导；D.，极限不存在。故选（）.2.过点，，且与曲面相切的平面为（）（A）（B）（C）（D）【答案】（）第18页共18页【解析一】设平面与曲面的切点为，则曲面在该点的法向量为，切平面方程为切平面过点，，故有，（1），（2）

2、又是曲面上的点，故，（3）解方程（1）（2）（3），可得切点坐标或。因此，切平面有两个与，故选（B）.【解析二】由于不经过点和，所以排除（C）（D）。对于选项（A），平面的法向量为，曲面的法向量为，如果所给平面是切平面，则切点坐标应为，而曲面在该点处的切平面为，所以排除（A）.所以唯一正确的选项是（）.3.（）【答案】（）第18页共18页【解析】因为而，故选（）。4.设，，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。，，令，则，当时，，当时，，故对，

3、有，因而，，故。应选（）.第18页共18页5.下列矩阵中阵，与矩阵相似的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】记矩阵，则秩，迹,特征值（三重）。观察四个选项，它们与矩阵的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：,，,。如果矩阵与矩阵相似，则必有与相似（为任意常数），从而），故选（A）,6.设是阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】把矩阵按列分块，记，则向量组可以由向量组线性表出，从而与，，等价，于是，故选（）。第18页共18页7.设随机变量的概率密度满足，且则

4、()（A）0.2（B）0.3（C）0.4（D）0.5【答案】（）【解析】由可知概率密度函数关于对称，结合概率密度函数的性质及已知条件，容易得出，故选（）。8.设总体服从正态分布,是来自总体的简单随机样本，据此样本检测，假设则（）（A）如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必拒绝；（B）如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必接受；（C）如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必拒绝；（D）如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必接受。【答案】（）【解析】正确解答该题，应深刻理解“检验水平”的含义。第18页共18页统计量,在检验水平下接受域

5、为,解得接受域的区间为；在检验水平下接受域的区间为。由于，下接受域的区间包含了下接受域的区间，故选（）。二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.若，则。【答案】【解析】10.设函数具有二阶连续导数，若曲线过点，且与在点处相切，求。【答案】【解析】由已知条件可得：第18页共18页故11、设函数，则。【答案】【解析】故。12.设是曲面与平面的交线，则。【答案】【解析】先求交线:，由于曲面方程与平面方程中的满足轮换对称性，因此在曲线上具有轮换对称性。又知由轮换对称性可得：。13.设二阶矩阵有两个不同的

6、特征值，是的线性无关的特征向量，且满足第18页共18页，则。【答案】【解析】设对应的特征值分别是，则，，由于线性无关，故，从而的两个不同的特征值为，于是。14.设随机事件相互独立，相互独立，,，,则。【答案】【解析】,三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求不定积分.第18页共18页【解析】16.（本题满分10分）将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。【答案】面积之和存在最小值

7、，。【解析】设圆的半径为，正方形的边长为，三角形的边长为，则，三个图形的面积之和为，则问题转化为“在条件，下，求三元函数的最小值”。令第18页共18页解方程组，得到唯一驻点由实际问题可知，最小值一定存在，且在该驻点处取得最小值。最小面积和为.17.（本题满分10分）设是曲面的前侧，计算曲面积分.【解析】将空间曲面化成标准形以便确定积分曲面的形状。曲面前侧是一个半椭球面，补平面，取后侧，则由高斯公式可得其中，由“先二后一”法可得第18页共18页而。故.18.（本题满分10分）已知微分方程，其中是上的连续函数。（I）若，求方程的通解；（II

8、）若是周期为的函数，证明：方程存在唯一的以为周期的解。【解析】（I）若，则，由一阶线性微分方程通解公式得。（II）由一阶线性微分方程通解公式可得，由于在中无法表达出来，取，于是第18页共18页若方程存在唯一