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《2010年中秋快乐数学竞赛讲座》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2010年中秋快乐数学竞赛讲座例1。试解下列方程式：11111111−++−+−=x+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x+a7x+aa111111解：原式：（+)+（+)−(+)x+a6x+a3x+a4x+a2x+a5x+a117x+2a7x+2a7x+2a−(+)=0⇒+−2222227x+aa6x+7ax+a12x+7ax+a10x+7ax+a7x+2a2−=0∴7x+2a=0,⇒x=−a27ax+a721111现在令7ax+a=y.就得+−−=02226x+y12x+y10x+yy224x12x2⇒−=0⇒x=0,x=04222260x+16yx+y12yx+y2
2、2422422或12yx+y−3(60x+16yx+y)=0⇒90x+18yx+y=022−18x±x324−360222⇒y==(−9±3i)x∴7ax+a=(−9±3i)x2−7±13±2i2−7±13±2i⇒x=a,综上知x有6解：x=−a,x=0,x=a18−6i718−6ixi2。解方程i=eiix解：xlni=i⇒x=,∵e=cosx+isinxlnikπi2令x=kπ,⇒e=cos(kπ)+isin（kπ)=−1=ii22kπi=2lni⇒=,k∈z.∴x=.lnikπkπ22（cotx−1)(cot2x−1)1例3。解方程=4cot2x322cos2x(co
3、s2x−sin2x)1解法1：=2(1−cos2x)sin2xcos2x322(2cos2x−1)1432⇒=⇒16cos2x−8cos2x−12cos2x+224(1−cos2x)sin2x338cos2x−1=0⇒(2cos2x−1)(8cos2x−6cos2x+1)=0ππ(2cos2x−1)(2cos6x+1)=0,⇒2x=2nπ±,,x=nπ±36πnππ∵x=nπ+是增根，舍去。同样也有x=±带进去满足639π4π7π的方程的有x=nπ+,nπ+,nπ+.999π4π7π5π综上：方程的解为：x=nπ+,nπ+,nπ+,nπ+.99960例4。设P是∆ABC内部
4、的一个点，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=30.证明：∆ABC是等边三角形。如图：从点P分别向BC，CA,AB边引垂线PD,PE,PF。设BC=a,AC=b,AB=c,PD=x,PE=y,PF=z.那么PC=2y,PA=2z,PB=2x.∴BD=3x,⇒CD=a-3x222222在Rt∆PDC中，有PD+CD=PC,因而有x+(a−3x)=(2y).即222222222a−23ax+4x=4y,同理得到b−23by+4y=4z.c−23cz+4z=4x.222三式相加得到a+b+c=23(ax+by+cz)=43s(s−a)(s−b)(s−c)俩边平方后444222222
5、222222222⇒a+b+c−ab−bc−ac=0⇒(a−b)+(b−c)+(a−c)=0∴a=b=c,故三角形ABC为等边三角形cos(sinx)−cosx求极限lim4x→0x解1：构造f(x)=cosx,那么cos(sinx)−cosx=f(sinx)−f(x)=f'(c)(sinx−x)=sinc(x−sinx),其中c∈(sinx,x)sinx(x−sinx)cos(sinx)−cosxx(x−sinx)∴lim≤lim≤lim444x→0xx→0xx→0xsinx(x−sinx)x−sinx1x(x−sinx)1∵lim=lim=,lim=434x→0xx→0
6、x6x→0x6cos(sinx)−cosx1∴lim=.4x→0x6sinx+xsinx−x(sinx+x)(x−sinx)解2：因为cos(sinx)−cosx=−2sinsin≈222cos(sinx)−cosx1（sinx+x)(x−sinx)1sinxx−sinx∴lim=lim=lim（+1)lim443x→0x2x→0x2x→0xx→0x1=.69a(a+b)6bc例6:设a,b,c>0。求f(a,b,c)=39+3的最大值。22(a+b+c)(a+b)(a+b+c)9a(a+b)2a3(a+b)3(a+b)612a3(a+b)解：∵9=9*1≤(+*2+6)2
7、2(a+b+c)a+b2(a+b+c)2(a+b+c)9a+b2(a+b+c)6bc2b3c12b3c∵3=3*1≤(++1)(a+b)(a+b+c)a+ba+b+c3a+ba+b+c9a(a+b)6bc12a+2b3(a+b+c）∴39+3≤(++7)=422(a+b+c)(a+b)(a+b+c)3a+ba+b+c∞5+y2⎧∞∞2π1⎪∑k=1k(k+1)11πe+112x⎪x=[2xsin(∑2+∑2−2π+)]例7：解方程组：⎨k=16kk=1k+12e−122∞⎪210y14940122⎪x(x−)+4∑
