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1、若干数值积分的计算方法黄海琼（广西民族大学数计学院04数本1班南宁530006）摘要:本文讨论了若干数值积分的计算方法。在一维情形下，介绍了Newton-Cotes公式，Gauss型等求积法则；在二维情形下,主要介绍了二元Newton-Cotes积分方法。最后，对几类数值积分方法及其数值实验进行比较评述。关键词:牛顿-柯特斯公式；Gauss型求积法则；二元数值积分；数值实验SomeComputationalMethodsofnumericalintegrationHuangHaiqiong(CollegeofMathematicsan
2、dComputerScience,GuangxiUniversityforNationalities,Nanning530006)Abstract:Inthispaper,somecomputationalmethodsaboutnumericalintegrationarediscussed.undertheunivariatesituation,thequadratureruleofNewton-Cotesformula,Gaussformulaandsoonisintroduced.Underthetwo-dimensional
3、situation,itmainlyintroducedthedualNewton-Cotesintegralmethod.Finally,thenumericalintegrationmethodsandnumericalexperimentwerediscussed.Keyword:Newton-Cotesformula;Gaussintegrationprinciple;dualnumericalintegration;numericalexperiment.1引言数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的
4、最直接应用，也是工程技术计算中常常遇到的一个问题。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。在微积分理论中，我们知道了牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式其中是被积函数的某个原函数。但是随着学习的深入，我们发现一个问题:对很多实际问题，上述公式却无能为力。这主要是因为:它们或是被积函数没有解析形式的原函数,或是只知道被积函数在一些点上的值,而不知道函数的形式,对此,牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式就无能为力了。此
5、外,即使被积函数存在原函数,但因找原函数很复杂,人们也不愿花费太多的时间在求原函数上,这些都促使人们寻找定积分近似计算方法的研究,特别是有了计算机后,人们希望这种定积分近似计算方法能在计算机上实现,并保证计算结果的精度,具有这种特性的定积分近似计算方法称为数值积分。152一维数值积分的计算方法2.1一维数值积分方法的基本思想对于一维数值积分法的思想来源于定积分的定义，即其中，一般的提法是:对于给定的权函数，用在点处的函数值的线性组合作为积分的近似值，即(2.1)并称此为求积公式，称为求积公式(2.1)的余项或误差，及分别称为求积公式(
6、2.1)的求积节点及求积系数，这里求积系数只与权函数及积分区间有关，而与无关。为保证机械求积公式的精度,自然希望它对尽可能多的简单函数是准确的，即要求它对一切次多项式是准确的,而对次多项式不一定准确。则得到关于系数的阶线性方程组：由于系数行列式为Vandermonde行列式,不为零,则解是唯一存在的。定义2.1.1如果当时，求积公式(2.1)精确成立，而当时，求积公式(2.1)不精确成立，那么称求积公式(2.1)具有次代数精度。定理2.1.1任意给定个节点，如果是次数不超过的多项式，那么一定15存在常数，使求积公式(2.1)精确成立，
7、即.证明设是关于节点，的次Lagrange插值多项式,即其中是Lagrange基函数，，是Lagrange插值余项。于是不妨令(2.2)则有因为是次数不超过的多项式，所以，这意味着，于是，从而.这个定理告诉我们，具有一定代数精度的求积公式是存在的。定理2.1.2形如(2.1)的求积公式的代数精度的充要条件是:它是插值型求积公式。证明充分性上面已证.现在来证必要性.设求积公式(2.3)的代数精度.因为Lagrange基函数,所以故求积公式(2.3)是插值型求积公式。定义2.1.2如果属于区间，那么称15为内插型求积公式，其中求积系数由(
8、2.2)决定。2.2几种常用数值积分方法2.2.1插值型求积公式在上,用以为节点的次Lagrange插值多项式作为的逼近函数,即可得到插值型求积公式:即其中.插值型积分公式具有次代数精度,且时公式是稳定的。2.2.2一元
