数学：第3章《空间向量与立体几何》测试（苏教版选修2—1）

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1、第3章空间向量与立体几何测试一、选择题1．为空间四个点，又为空间的一个基底，则（）A．四点共线B．四点共面C．四点中存在三点共线D．四点不共面答案：D2．已知，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．答案：C3．空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（）A．B．C．D．答案：B4．已知线段的两端点的坐标为，则线段与哪个坐标平面平行（）A．B．C．D．或答案：C5．已知和，则的取值范围是（）A．B．C．D．答案：A6．如图1，平面，，与平面所成的角为，，则的长等于（）A．B．C．D．答案：B7．已知向量，且与互相垂直，则的值是（）A．1B．C．D．答案：D8．设在三个坐标平面上

2、的射影分别为，则下列向量中不与平面平行的向量是（）A．B．C．D．答案：A9．已知点，则的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案：C10．如图2，在正四棱锥中，平面于，，底面边长，点分别在线段上移动，则两点的最短距离为（）A．B．C．2D．1答案：B11．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则与平面所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．答案：D12．给出下列命题：①若，则；②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么点共面；③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；④若共线，则所在直线平行．其中正确的有（）A．①②B．②③C．①②③④D

3、．③④答案：B二、填空题13．已知，则，则．答案：14．已知空间三点，则以为边的平行四边形的面积为．答案：15．正方体中，分别是与的中点，则直线与的夹角的余弦值等于．答案：16．过平面两点且不垂直于坐标轴的直线方程为，则过空间两点，且不垂直于坐标轴平面的直线方程可表示为．答案：三、解答题17．如图3，是所在平面外一点，分别是和的重心．若，试求的长．解：连结并延长与相交于，又连结并延长与相交于，则分别为及的中点（如右图）．又，．18．在正方体中，棱上是否存在这样的点，使得面面？证明你的结论．解：假设点存在，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为，，则由正方

4、体的性质知，，，，平面．因此是平面的法向量．平面平面，在平面内或与平面平行，存在实数和，使得，又，，可见点存在，且当点为中点时，平面平面．19．如图4，直三棱柱，底面中，，，棱，分别是的中点，（1）求的长；（2）求的值；（3）求证：．解：（1）以射线分别为非负轴、非负轴、非负轴建立坐标系，则，；（2）解：，，；（3）证明：，，，．图5，分别是的直径．与两圆所在的平面均垂直，，是的直径，，．（1）求二面角的大小；（2）求直线与所成的角的余弦值．解：（1）与两圆所在的平面均垂直，，故是二面角的平面角，依题意知，是正方形，所以．即二面角的大小为；（2）以为原点，所在直线为坐标轴

5、，建立空间直角坐标系（如图所示），则，，所以，．则直线与所成的角的余弦值为．21．如图6，在三棱锥中，，，点分别是的中点，底面．（1）求证：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？解：平面，，．以为原点，射线为非负轴，射线为非负轴，射线为非负轴，建立空间坐标系如图．设，则．设，则．（1）为的中点，，又，，又平面，平面，平面；（2），则，，，可求得平面的一个法向量，．设与平面所成角为，则．与平面所成的角的正弦值为；（3）设的重心为点，易得，．平面，，又，，，，即．当时，三棱锥为正三棱锥，在平面内的射影恰好为的重心．