数列极限复习指导

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1、数列极限复习指导一、重点难点分析：　　1.三个最基本的极限　　(1)常数数列的极限就是其本身，即：C=C。(2)=0。(3)当

2、q

3、<1时，qn=0。　　这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向。　2.数列极限四则运算法则：　　如果an=A,bn=B,那么：　　(an±bn)=an±bn=A±B。　　(an·bn)=an·bn=A·B。　==(bn≠0，B≠0)。　　==(an≥0,A≥0)。　　应特别注意理解：　　(1)公式成立的条件：公式成立的前提是{an}与{bn}都存在极限。　(2)公式的实质：是四则运算与取极限这两种运算可以变换顺序。　　(3)公式的推广：公式中

4、的两项的和，差，积可以推广到有限个项，但是它们都不能推广到无限个。　　3.无穷数列各项的和　　(1)无穷递缩等比数列：　　当公比

5、q

6、<1时无穷等比数列{an}称为无穷递缩等比数列。Sn==。　　则称这个极限叫做无穷递缩等比数列各项的和，用S表示，即S=。　　(3)其它无穷数列各项的和：　　若无穷数列{bn}不是等比数列，但可求得前n项和Tn，且Tn=t。　　则无穷数列{bn}的各项和存在，且为：S=Tn=t。　　4.求数列极限的方法与基本类型：　　1)．求数列极限的基本思路是“求和——变形——利用极限的运算法则求解”，而在求解前应先化为三个重要的极限。　　2)．常见的几类数列极限

7、的类型和方法有：　①型：分子分母分别求和再化简转化　　②型：分子分母分别求和再化简转化　③已知极限值定参数：待定系数法　　3)．要注意极限运算法则的使用范围，以及特殊极限的使用条件。　　4)．实际运用中极限思想应引起注意。　　二、应用举例：　　例1．求下列极限：　　(1)　　(2)　　(3)　　解：(1)∵　　∴原式=。　　(2)∵　　　　=　　∴原式=。　　(3)∵　　　　　　∴原式。　　例2．设数列a1,a2,……an……的前n项和Sn与an的关系是：，其中b是与n无关的常数且b≠-1。　①求an和an-1的关系式。　②写出用n和b表示an的表达式。　　③写0

8、。　　解析：(1)∵　　　　　　　　　　　∴　　(2)∵,∴。　　∴　　　　　　由此猜想。　证明（略）　　把代入上式得：　　(3)　　　　　　　∵0

9、n-kan-1,(k-1)an=kan-1，∴(常数)　∴，由得,∴，故，∴k2

10、2．设首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn，求。　　3．RtΔABC中，AC=a,∠A=θ,∠C=90°，排列着无限多个正方形。（如图所示），其中面积依次为S1，S2，S3，……。试将这些正方形的面积之和S用a和θ表示，若S为RtΔABC的面积的，试确定θ的值。　　参考答案：　　　1.(1)　　(2)2　　(3)当

11、a

12、>

13、b

14、时，原式=，当

15、a

16、<

17、b

18、时，原式=。　　(4)　　2.∵，∴。　　①当q=1时，。　②当q≠1时，若01，。故：　　3．设第n个正方形的边长为xn,考虑图中三角形的长关系是　　　，∴，又，　　∴，∴{Sn}是首项，公比为的等

19、比数列。　　又，∴S=，而，　　∴，∴，∴。