数学奥林匹克高中训练题(26)及答案

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1、数学奥林匹克高中训练题（26）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题59)已知是两个不等的正数，则，，的大小顺序是(C)．(A)(B)(C)(D)2．(训练题59)函数与有相同的定义域，对定义域中任何，有，，且当时，，则是(B)．(A)奇函数(B)偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数3．(训练题59)已知为非零常数，若，，则对任意的(C)．(A)(B)(C)仅当时，(D)仅当时ABCDFEA1B1C1D14．(训练题59)如图1，在棱长为的正方体中，点E、F分别是面和的中心，则异面直线与的距离为(C)．(A)(B)(C)(D)5．(训练题59)已知周期数

2、列满足，若，则当该数列的周期最小时，数列的前项的和是(B)．(A)(B)1335(C)1949(D)14286．(训练题59)设点分别为椭圆的左右两焦点，为右准线，若在椭圆上存在点，使，点到的距离成等比数列，则椭圆离心率的取值范围是(A)．(A)(B)(C)(D)二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题59)已知复数，满足，则．2．(训练题59)已知，设，则的取值范围是．3．(训练题59)已知在三棱锥中，底面三角形每个顶点处的三个面角和均为，底面三角形三边分别是、和，则该三棱锥的体积是．4．(训练题59)设，定义，且，则．5．(训练题59)已知焦点在轴上的椭圆，点是过原点的直

3、线与椭圆的两个交点，若数使得在椭圆上还存在另一点，使为正三角形，则对所有这样的，的面积最大值是．6．(训练题59)已知方程组，有且仅有整数解，则满足题意的实数对的个数是60．三、(训练题59)(本题满分已知，且，求证：．四、(训练题59)(本题满分给定空间不共面的个点．试问：是否一定存在这样一个平面，仅过这个点的其中三个？并请证明你的结论．五、(训练题59)(本题满分如果在一条平面曲线上存在四点，使得这四点构成的图形是一个菱形，则称该曲线存在内接菱形．现已知双曲线，双曲线，其中．证明：在双曲线与中有且仅有一条存在内接菱形．第二试一、(训练题59)(本题满分50分)如图2，点是的外接圆上（

4、异于）的两点，点关于直线的对称点分别是，连线分别与直线交于，求证：（1）三点共线；（2）三点共线．AEDFWQPCBUV二、(训练题59)(本题满分50分)已知，且，试求的最大值和最小值．三、(训练题59)(本题满分50分)已知是自然数的一个排列，且满足：对任意，均有．(1)若记为数在排列中所处位置的序号（如排列中，）．求证：对每一个满足题意的排列，均有成立．(2)试求满足题意的排列的个数．