数学奥林匹克高中训练题(38)及答案

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1、数学奥林匹克高中训练题（17）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题22)集合的真子集的个数是(A)．(A)7(B)8(C)31(D)322．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．(A)52个(B)53个(C)57个(D)72个3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．(A)(B)(C)(D)4．(训练题22)函数的定义域及值域都是，且都存在反函数，则的反函数是(B)．(A)(B)(C)(D)5．(训练题22)若,

2、则等于(D)．(A)(B)(C)(D)6．(训练题22)当时，的大小关系是(B)．(A)(B)(C)(D)二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题22)已知表示的反函数，设．则的最小值是．2．(训练题22)在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有840个．3．(训练题22)四面体中，，则二面角的余弦值是．4．(训练题22)设，在上定义函数如下：若表示不是的约数的最小自然数，则16．5．(训练题22)为不超过1996的正整数，如果有一个，使成立，则满足上述条件的值共有498个．6

3、．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则红色子列中由1开始数起的第1996个数是3929．第二试一、(训练题22)(本题满分25分)点是正三角形内一点，证明：由线段和为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的．二、(训练题22)(本题满分25分)

4、若，试求函数的最小值．三、(训练题22)(本题满分35分)证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数和，使得如下不等式成立．四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边．