江苏省“金太阳”百校大联考（数学）

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1、江苏省“金太阳”百校大联考（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.若，则集合的元素个数为▲．2.已知命题：“，使x2+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是▲．3.复数z=,则

2、z

3、=▲．4.若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在第▲象限.5.已知函数在区间[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是▲．6.等比数列的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则的公比为▲．7.按右图所示的程序框图运算，若输入，则输出=▲．8.已知函数的取值范围为▲．9.在DA

4、BC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则ÐC的大小应为▲．10.关于直线m，n与平面，有以下四个命题：①若，则②若；③若④若；其中真命题的序号是▲．11.若，则椭圆的离心率是▲．12.设、满足约束条件若目标函数为，则的最大值为▲．13.已知向量，设M是直线OP上任意一点（O为坐标原点），则的最小值为▲．14.在实数数列中，已知则的最大值为▲．二、解答题：本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上.15.（本小题满分14分）已知函数是的导函数。（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若的值。16

5、.（本小题满分14分）已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，分别为的中点，（1）求证：//平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥E-ABF的体积。17.（本小题满分14分）已知数列是一个公差大于0的等差数列，且满足（1）求数列的通项公式；（2）数列和数列满足等式，求数列的前n项和Sn。18.（本小题满分16分）某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元,给每人发放50元的服装补贴,每渗水1

6、m2的损失为250元.现在共派去x名工人,抢修完成共用n天.（Ⅰ）写出n关于x的函数关系式;（Ⅱ）要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋政府支出).19.（本小题满分16分）已知圆：交轴于两点，曲线是以为长轴，直线：为准线的椭圆．（1）求椭圆的标准方程；（2）若是直线上的任意一点，以为直径的圆与圆相交于两点，求证：直线必过定点，并求出点的坐标；（3）如图所示，若直线与椭圆交于两点，且，试求此时弦的长．（本小题满分16分）已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果是增函数，且存在零点（为的导函数）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y

7、2）（x1

8、∵AB=AC=2BAC=,∴BC=2在中EC=1∴=3=∴又∵,∴平面,∴∵，,∴平面………………10分（3）EF=.，=1…14分17.解（1）设等差数列的公差为d，则依题设由，得………………①由得…………②由①得将其代入②得即……………………4分又，代入①得……………………6分……………………7分（2）令，则有两式相减得由（1）得，即当时，又当n=1时，………………10分于是即……………………14分18.解：（Ⅰ）由题意得所以.……………4分（Ⅱ）设总损失为………8分当且仅当时,即时,等号成立.………………………11分所以应派52名工人去抢修,总损失最小.…………………

9、……16分19.解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，则：，从而：，故,所以椭圆的标准方程为。………4分（Ⅱ）设，则圆方程为与圆联立消去得的方程为，过定点。……………10分（Ⅲ）解法一：设，则,………①，，即：代入①解得：（舍去正值），，所以，从而圆心到直线的距离，从而。………16分解法二：过点分别作直线的垂线，垂足分别为，设的倾斜角为，则：，从而，由得：，，故，由此直线的方程为，以下同解法一。解法三：将与椭圆方程联立成方程组消去得：,设，则。，，所以代入韦达定理得：，消去得：，，由图得：，所以，以下同解法一。（Ⅰ）因为，