广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 函数的值域

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1、函数的值域一．知识点1．函数的值域的定义在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。2．确定函数的值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。3．求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(

2、x)的取值范围；②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。二．应用举例例1．求下列函数的值域①②③解：①配方法[2，4]②换元法：③三角换元法：形如：的函数可令，

3、则转化为关于t的二次函数求值。形如含有的结构的函数，可用三角换元令x=acosθ(θ∈)求解。例2．求下列函数的值域①②解:①反函数法或分离常数法：②判别式法：形如：可用反函数法或分离常数法求；形如：可用判别式法求。例3．求下列函数的值域①②解:①不等式法：②用的单调性：可转化为各项为正，并和或积为定值时，可考虑用不等式法求值域，但要注意“=”问题；形可化为用它在上递减，在上递增，求值域。练习：求值域①②例4．求下列函数的值域①②③解答见P57-58形如：可转化为斜率或用三角函数有界性求解；形如②的题目可转化为距离求解

4、；形如③的高次函数可用导数求解。例5．（P58考例5）已知函数的定义域为R，值域为[0，2]，求m,n的值。（解答见书）例6．甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，①把全程运输成本y元表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域，②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：全程成本=每小时成本×时间每小时成本=可变成本+固定成本实际问

5、题注意定义域解：①由题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程成本为：①由题意知S、a、b、v都为正数，故有，当且仅当时“=”成立。若时，全程运输成本最小；若当v∈(0,c]时有∴当且仅当v=c时“=”成立即v=c时全程运输成本最小;综上所述：当时，全程运输成本最小；当时v=c时全程运输成本最小。三．小结1．熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用；2．求值域时要务必注意定义域的制约；3．含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论；4．用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。四．作业P59能力提高