广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 函数的极限

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1、第三节函数的极限一、知识归纳1、知识精讲：1）当x→∞时函数f(x)的极限:当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作,(或x→+∞时,f(x)→a)当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作,(或x→-∞时,f(x)→a)注：自变量x→+∞和x→-∞都是单方向的，而x→∞是双向的，故有以下等价命题2）当x→x0时函数f(x)的极限:当自变量x无限趋近于常数x0（但x≠x

2、0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于x0时,函数f(x)的极限是a,记作,(或x→x0时,f(x)→a)注：与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。3）函数f(x)的左、右极限:如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的左极限，记作。如果当x从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的右极限，记作。注：。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。注：极限不存在

3、的三种形态：①左极限不等于右极限；②时，，③时，的值不唯一。4）函数极限的运算法则：若，，那么；；；；。注：以上规则对于x→∞的情况仍然成立。5）两个重要的极限：；和一个法则：罗必塔法则：2、重点难点：对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。思维方法：直接从常用的重要极限出发，运用函数极限的运算法则解题。一、问题讨论例1：判断下列函数的极限是否存在：（1）（2）（3）（4），解答：（1）不存在，；（2）不存在，（3）存在，（4）不存在，时，，时，【思维点拨】理解并应用极限存在条件和不存在的类型。例2：设，问a，b为何值时，存

4、在。解：，。当b=2时有，与a无关。故当b=2，a为任何实数时，存在。【思维点拨】存在例3：求下列函数的极限：（1）2（2）-1（3）（4）例4：求下列各极限(1)()；(2)()(3)；(4)(5)解：(1)原式=(2)原式=(3)因为，而，，所以不存在。(4)原式==（5），但时，→+∞。可知时，不存在。【思维点拨】①解此类问题常用的手段是“消因子”与“因式有理化”。②第（5）小题易与数列极限相混，数列极限中特指，而函数极限中的包括了与。例5：已知求解法一：为方程的一根，得，代人可得解法二：=，代人可得例6：为多项式，且，求。解

5、：∵是多项式，且，∴，为待定系数，即，又，即，∴，即。【思维点拨】待定系数法是求函数解析式的常用方法。三、课堂小结；。四、布置作业五、课后小结