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1、广东省金山中学高三第二次月考（数学理）一．选择题1.=（）A．B．C．D．2.已知，是两个不共线的单位向量，向量=3-，=t+2，且∥，则t=（）A．-6B．6C．-3D．33.的值为（）A．－4B．－2C．D．44.函数满足条件,则的值为（）.A．4B．-4C．6D．-65.设是方程的解，且，则（）A．4B．5C．7D．86.等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于()A．1B.-2C.3D7.已知向量，其中、均为非零向量，则的取值范围是（）.ONMyBAxA．[2,+∞)B．[0,+∞)C．[-2,
2、2]D．[0,2]8.幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点,连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有那么，ab=（）A．1B．2C．D．二．填空题9.平面向量与的夹角为，=（2，0），
3、
4、=1，则.10.已知,。11．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的有；12．若实数，则有最（填大、小）值13.当、满足条件时，变量的取值范围是。14.若已知函数则不等式的解集为；三．解答题15.（12分）已知函数．（1）求函数的单调增区间；（2
5、）已知，且，求的值．16.（12分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为数列{}的前n项和为，点均在函数的图像上.（1）求数列{}的通项公式；（2）设，的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.17.（14分）AEyxDCB如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.（1）设AD＝（≥），DE＝，求关于的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，我们希望它最短，DE的位置应在哪里？请予证明.18.（14分）设（1）求a的值，使的极小值
6、为0；（2）当a>2时，求y=f（x），x∈[-1，1]的值域。19．（14分）设是函数的两个极值点，且（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求证：.14分）数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和为，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有2；(Ⅲ)正数数列中，.求数列中的最大项.参考答案一．选择题（8×5）12345678CABCCBDA二．填空题（6×5）9.；10.；11.D；12.大，；13.；14.；15.解：（1）＝．由，
7、得．∴函数的单调增区间为．（2）由，得．∴．又，∴．16.解：（1）设这二次函数，由于，得.又因为点的图像上，所以当又也满足上式，∴（2）由（1）得知故因此，要使，必须且仅须满足即，所以满足要求的最小正整数为10.17、（1）在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°y2＝x2＋AE2－x·AE,①又S△ADE＝S△ABC＝a2＝x·AE·s1n60°x·AE＝2.②②代入①得y2＝x2＋－2（y＞0）,∴y＝又x≤2，若，，矛盾，所以≥∴y＝（1≤x≤2）.（2）如果DE是水管y＝≥,当且仅当
8、x2＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝.18．解：（1）令时，无极值。（1）当的变化情况如下表（一）x（－,0）0（0，2－2a）2－2a（2－2a,+）－0+0－↘极小值↗极大值↘此时应有（2）当的变化情况如下表（二）x（－,2－2a）2－2a（2－2a，0）0（0+）－0+0－↘极小值↗极大值↘此时应有综上所述，当a=0或a=2时，的极小值为0。（2）当a>2时，2-2a<-1。由（1）知，∵，且∴f（x）在[-1,1]上的值域为19.解证：（I）易得…………………………………………1分的两个极
9、值点，的两个实根，又＞0……………………………………………………3分∴∵，……………………………………………7分（Ⅱ）设则由………………10分∴在上单调递增；在上单调递减………………12分∴时，取得极大值也是最大值，………………………………………14分（Ⅰ）解：由已知：对于，总有①成立∴（n≥2）②…………………1分①--②得∴∵均为正数，∴（n≥2）∴数列是公差为1的等差数列………3分又n=1时，，解得=1∴.()……………………………………………5分（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.……6分∴
10、……………9分(Ⅲ)解：由已知，易得 猜想n≥2时，是递减数列.………………………………11分令∵当∴在内为单调递减函数.由.∴n≥2时,是递减数列.即是递减数列.又,∴数列中的最大项为.…………………………14分
