高中数学 竞赛标准教材 第八章 平面向量【讲义】

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1、第八章平面向量一、基础知识定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.

2、a

3、表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2非零向量a

4、,b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x,y，使得c=xa+yb，其中a,b称为一组基底。定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x,y，使得c=xi+yi，则（x,y）叫做c坐标。定义4向量的数量积，若非零向量a,b的夹角为，则a,b的数量积记作a·b=

5、a

6、·

7、b

8、cos=

9、a

10、·

11、b

12、cos，也称内积，其中

13、b

14、c

15、os叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4平面向量的坐标运算：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，1．a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)，2．λa=(λx1,λy1),a·(b+c)=a·b+a·c，3．a·b=x1x2+y1y2,cos(a,b)=(a,b0),4.a//bx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0.定义5若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标

16、分别为(x1,y1),(x,y),(x2,y2)，则定义6设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向，平移

17、a

18、=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x,y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。定理5对于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),

19、a·b

20、≤

21、a

22、·

23、b

24、，并且

25、a+b

26、≤

27、a

28、+

29、b

30、.【证明】因为

31、a

32、2·

33、b

34、2-

35、a·b

36、2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又

37、a·b

38、≥0,

39、a

40、·

41、b

42、≥0，所以

43、a

44、·

45、b

46、≥

47、

48、a·b

49、.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得

50、a+b

51、≤

52、a

53、+

54、b

55、.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1,x2,…,xn)，b=(y1,y2,…,yn)，同样有

56、a·b

57、≤

58、a

59、·

60、b

61、，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又

62、a·b

63、≥0,

64、a

65、·

66、b

67、≥0，所以

68、a

69、·

70、b

71、≥

72、a·b

73、.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得

74、a+b

75、≤

76、a

77、+

78、b

79、.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn)

80、，同样有

81、a·b

82、≤

83、a

84、·

85、b

86、，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。2）对于任意n个向量，a1,a2,…,an，有

87、a1,a2,…,an

88、≤

89、a1

90、+

91、a2

92、+…+

93、an

94、。二、方向与例题1．向量定义和运算法则的运用。例1设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：【证明】记，若，则将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合，所以不变，这不可能，所以例2给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则又因为BC

95、与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BGPC，所以所以充分性。若，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则因为，则，所以GBCP，所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证明】如图所示，结结BQ，QD。因为，所以=·=①又因为同理，②，③由①，②，③可得。得证。2．证利用定理2证明共线。例4△ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=

96、1：2。【证明】首先=其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE又AHBC，所以AH//CE。又EAAB，CHAB，所以AHCE为平行四边形。所以所以，所以，所以与共线，所以O，G，H共线。所以OG：GH=1：2。3．利用数量积证明垂直。例5给定非零向量a,b.求证：

97、a+b

98、=

99、a-b

100、的充要条件是ab.【证明】

101、a+b

102、=

103、a-b

104、(