第八章平面向量(高中数学竞赛标准教材)

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1、第八章平面向量(高中数学竞赛标准教材)第八平面向量一、基础知识定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a

2、a

3、表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2非零向量a,b共线的充要条是存在实数0，使得a=f定理3

4、平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是，存在唯一一对实数x,，使得=xa+b，其中a,b称为一组基底。定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，轴方向相同的两个单位向量i,作为基底，任取一个向量，由定理3可知存在唯一一组实数x,，使得=xi+i，则（x,）叫做坐标。定义4向量的数量积，若非零向量a,b的夹角为，则a,b的数量积记作a•b=

5、a

6、•

7、b

8、s=

9、a

10、•

11、b

12、s<a,b>，也称内积，其中

13、b

14、s叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4平面向量的坐标运算：若a=(x1,1),b=(x2,2)，1．

15、a+b=(x1+x2,1+2),a-b=(x1-x2,1-2)，2．λa=(λx1,λ1),a•(b+)=a•b+a•，3．a•b=x1x2+12,s(a,b)=(a,b0),4a//bx12=x21,abx1x2+12=0定义若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1,1),(x,),(x2,2)，则定义6设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h,)的方向，平移

16、a

17、=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x,)是F上

18、任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。定理对于任意向量a=(x1,1),b=(x2,2),

19、a•b

20、≤

21、a

22、•

23、b

24、，并且

25、a+b

26、≤

27、a

28、+

29、b

30、【证明】因为

31、a

32、2•

33、b

34、2-

35、a•b

36、2=-(x1x2+12)2=(x12-x21)2≥0，又

37、a•b

38、≥0,

39、a

40、•

41、b

42、≥0，所以

43、a

44、•

45、b

46、≥

47、a•b

48、由向量的三角形法则及直线段最短定理可得

49、a+b

50、≤

51、a

52、+

53、b

54、注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1,x2,…,xn)，b=(1,2,…,n)，同样有

55、a̶

56、6;b

57、≤

58、a

59、•

60、b

61、，化简即为柯西不等式：(x11+x22+…+xnn)2≥0，又

62、a•b

63、≥0,

64、a

65、•

66、b

67、≥0，所以

68、a

69、•

70、b

71、≥

72、a•b

73、由向量的三角形法则及直线段最短定理可得

74、a+b

75、≤

76、a

77、+

78、b

79、注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1,x2,…,xn),b=(1,2,…,n)，同样有

80、a•b

81、≤

82、a

83、•

84、b

85、，化简即为柯西不等式：(x11+x22+…+xnn)2。2）对于任意n个向量，a1,a2,…,an，有

86、a1,a2,…,an

87、≤

88、a1

89、+

90、a2

91、+…+

92、an

93、。二、方

94、向与例题1．向量定义和运算法则的运用。例1设是正n边形A1A2…An的中心，求证：【证明】记，若，则将正n边形绕中心旋转后与原正n边形重合，所以不变，这不可能，所以例2给定△AB，求证：G是△AB重心的充要条是【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则又因为B与GP互相平分，所以BPG为平行四边形，所以BGP，所以所以充分性。若，延长AG交B于D，使GP=AG，连结P，则因为，则，所以GBP，所以AG平分B。同理BG平分A。所以G为重心。例3在凸四边形ABD中，P和Q分别为对角线BD和A的中点，求证：AB2+B2+D2+DA2=A2+BD2+4PQ2。

95、【证明】如图所示，结结BQ，QD。因为，所以=•=①又因为同理，②，③由①，②，③可得。得证。2．证利用定理2证明共线。例4△AB外心为，垂心为H，重心为G。求证：，G，H为共线，且G：GH=1：2。【证明】首先=其次设B交外接圆于另一点E，则连结E后得E又AHB，所以AH//E。又EAAB，HAB，所以AHE为平行四边形。所以所以，所以，所以与共线，所以，G，H共线。所以G：GH=1