高中数学竞赛辅导讲义第八讲 平面向量

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1、第八章平面向量一、基础知识定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.

2、a

3、表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。

4、定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数l¹0，使得a=lb.f定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x,y，使得c=xa+yb，其中a,b称为一组基底。定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x,y，使得c=xi+yi，则（x,y）叫做c坐标。定义4向量的数量积，若非零向量a,b的夹角为q，则a,b的数量积记作a·b=

5、a

6、·

7、b

8、cosq=

9、a

10、·

11、

12、b

13、cos，也称内积，其中

14、b

15、cosq叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4平面向量的坐标运算：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，1．a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)，2．λa=(λx1,λy1),a·(b+c)=a·b+a·c，xx+yy3．a·b=xx+yy,cos(a,b)=1212(a,b1212¹0),2222x+y×x+y11224.a//bÛx1y2=x2y1,a^bÛx1x2+y1y2=0.定义5若点P是直线P1P2

16、上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使PP=lPP，λ叫P分PP所成的比，若O为平面内任意一1212OP+lOP12点，则OP=。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1,y1),1+lìx+lx12ïx=ï1+lx-x1y-y1(x,y),(x2,y2)，则í.l==.ïy1+ly2x2-xy2-yy=ïî1+l定义6设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向，平移

17、a

18、=22h+k个单位得到图形F'，这一过程叫做平移。设p(x,y)是F上任意一点，平移到F'上对

19、应的点为p'(x',y')，ìx'=x+h则í称为平移公式。îy'=y+k定理5对于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),

20、a·b

21、≤

22、a

23、·

24、b

25、，并且

26、a+b

27、≤

28、a

29、+

30、b

31、.【证明】因为

32、a

33、2·

34、b

35、2-

36、a·b

37、2=(x2+y2)(x2+y2)-(xx+yy)2=(xy-xy)2≥0，又

38、a·b

39、≥0,112212121221

40、a

41、·

42、b

43、≥0，所以

44、a

45、·

46、b

47、≥

48、a·b

49、.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得

50、a+b

51、≤

52、a

53、+

54、b

55、.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n

56、维向量，a=(x1,x2,…,xn)，b=(y1,y2,…,yn)，同样有

57、a·b

58、≤

59、a

60、·

61、b

62、，化简即为柯西不等式：(x2+x2+L+x2)(y2+y2+L+y2)³(xy+xy+…+xy)2≥0，又

63、a·b

64、≥0,12n12n1122nn

65、a

66、·

67、b

68、≥0，所以

69、a

70、·

71、b

72、≥

73、a·b

74、.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得

75、a+b

76、≤

77、a

78、+

79、b

80、.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn)，同样有

81、a·b

82、≤

83、a

84、·

85、b

86、，化

87、简即为柯西不等式：(x2+x2+L+x2)(y2+y2+L+y2)³(xy+xy+…+xy)2。12n12n1122nn2）对于任意n个向量，a1,a2,…,an，有

88、a1,a2,…,an

89、≤

90、a1

91、+

92、a2

93、+…+

94、an

95、。二、方向与例题1．向量定义和运算法则的运用。例1设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：OA+OA+L+OA=O.12n【证明】记S=OA+OA+L+OA，若S¹O，则将正n边形绕12n2p中心O旋转后与原正n边形重合，所以S不变，这不可能，所以nS=O.例2给定△ABC，求证

96、：G是△ABC重心的充要条件是GA+GB+GC=O.【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则AG=2GD=GP.又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BG//PC，所以GB=CP.所以GA+GB+GC=GC+CP+PG=O.充分性。若GA+GB+GC=O，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则GA=PG.因为GC+PG+PC=O，则GB=PC，所以GB//CP，所以AG平分BC。同理B