高一数学竞赛 方程理论及应用专题培训

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1、方程理论及应用一．一元一次同余方程1．形式：不能整除………………（1）2．讨论的解分析：1）设是模m的完系，因为，所以也是模m的完系。因此，其中必有且只有一个树与零同余，即，即（1）有唯一解。由（1）得：，由欧拉定理知：，所以2）＞1设（1）有解，则d︱b；反过来，设d︱b，因为，所以……（2）有解，所以（1）有解。所以，（1）和（2）是等价的。下面求（2）的解即可。但是要注意，（1）和（2）的模不同，所以（2）的相同的解不一定也是（1）的相同的解，下面我们在（2）的所有解中来求（1）的所有不相同的解。设

2、（2）的唯一解为：，则所以形如（t为任意整数）的数都是（2）的解，因此这些数中所有关于模m不同余的数就是（1）的所有解。因为当……（3）时，有，所以；反之也成立，所以（3）成立的充要条件是因此，在所有形如的数中只要t取关于模d不同余的数，所得到的数就关于模m不同余，所以就是（1）的所有解。定理1一元一次同余方程中，当，有唯一解，＞1，有解d︱b，，其中是的唯一解。定理2（中国剩余定理）设两两互质，则同余方程组（4）对于模有唯一解：其中：，一．二元一次不定方程。1．形式：2．定理：有解︱c三．例题讲解。例1

3、．解同余式。1）2）3）4）例2．解同余方程组。1）2）3）例3．求出最小的正整数，它的一半是整数的平方，它的是整数的三次方，它的是整数的五次方。例4．解二元一次不定方程。1）2）求：的整数解高斯函数一．定义。叫高斯函数，定义域为R，y是不超过x的最大整数。注：1）2）二．性质。1）定义：为x的小数部分，所以2）是不减函数，当时，3）中整数部分可以外拿，4）有5）若则6）在中，m的倍数有个三．应用技巧。1）充分利用的定义，根据定义，任意实数，而0≤＜1，于是，将关于任意实数x的问题，归结到讨论区间（0，1

4、）上的关于的问题。2）有意识的利用的性质，特别是前四个性质，因为这四个性质是直接由定义派生出来的，可以说是函数的本质属性的推论。3）充分利用典型区间，设m=，p=，则x=m+p，其中0≤p＜1，于是，问题归纳到在[0，1]上讨论。为此需要对区间（0，1）进行划分，分段讨论，又常分成几个相等的小段：，于是问题的讨论只要在典型区间上进行即可。一．例题讲解例1．任何实数x，y，求证：例2．求：例3．设r是实数且满足条件：求：（第9届美国数学邀请赛AIME试题）例4．在数列=中每个奇数k出现k次，设有整数p,q,

5、r存在，对所有正整数n，满足，其中表示不大于x的最大整数，求：的值。（《数学通讯》问题征解题）