高考数学 知能优化训练题8

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1、智能优化训练1．已知点(2,3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是(　　)A．点(－2,3)在椭圆外B．点(3,2)在椭圆上C．点(－2，－3)在椭圆内D．点(2，－3)在椭圆上答案：D2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)A．m>1　　　　　　　　　B．m>1且m≠3C．m>3D．m>0且m≠3答案：B3．直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．答案：(－，)4．如图，已知斜率为1的直线l过椭圆＋＝1的下焦点，交椭圆于A、B两点，

2、求弦AB之长．解：令A、B坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．由椭圆方程知a2＝8，b2＝4，∴c＝＝2，∴椭圆的下焦点F的坐标为F(0，－2)，∴直线l的方程为y＝x－2.将其代入＋＝1，化简整理得3x2－4x－4＝0，∴x1＋x2＝，x1·x2＝－，∴

3、AB

4、＝＝＝＝＝.一、选择题1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)A．－C．－2

5、．1D.解析：选B.椭圆的右焦点为F(1,0)，∴d＝＝.3．过椭圆＋＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为(　　)A．5B．6C.D．7解析：选C.椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k＝1，∴直线AB的方程为y＝x－4，由得9x2＋25(x－4)2＝225，由弦长公式易求

6、AB

7、＝.4．直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)A．(－5,5)B．(－12,12)C．(－13,13)D．(－15,15)解析：选C.联立直线与椭圆方程，由判别式Δ>0，可得－13

8、13.5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　)A.B.C.D.解析：选D.如图，由于BF⊥x轴，故xB＝－c，yB＝.设P(0，t)，∵＝2，∴(－a，t)＝2.∴a＝2c，∴＝.6．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)A．－3B．－C．－或－3D．±解析：选B.不妨设l过椭圆的右焦点(1,0)，则直线l的方程为y＝x－1.由消去

9、y，得3x2－4x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－.二、填空题7．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．解析：由题意可设椭圆方程＋＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a＝.答案：28．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则

10、PF1

11、·

12、PF2

13、

14、＝________.解析：两焦点的坐标分别为F1(－5,0)、F2(5,0)，由PF1⊥PF2，得

15、PF1

16、2＋

17、PF2

18、2＝

19、F1F2

20、2＝100.而

21、PF1

22、＋

23、PF2

24、＝14，∴(

25、PF1

26、＋

27、PF2

28、)2＝196.∴100＋2

29、PF1

30、·

31、PF2

32、＝196.∴

33、PF1

34、·

35、PF2

36、＝48.答案：489．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：椭圆的右焦点为F(1,0)，∴lAB：y＝2x－2.设A(x1，y1)，

37、B(x2，y2)，由得3x2－5x＝0，∴x＝0或x＝，∴A(0，－2)，B(，)，∴S△AOB＝

38、OF

39、(

40、yB

41、＋

42、yA

43、)＝×1×(2＋)＝.答案：三、解答题10．焦点分别为(0,5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程．解：设此椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且a2－b2＝(5)2＝50　①由，得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.∵＝，∴＝，∴a2＝3b2　②，此时Δ>0，由①②得a2＝75，b2＝25，∴＋＝1.11

44、．如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，·＝9.点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的方程．解：∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°，即△BAP是等腰直角三角形，

45、AB

46、＝

47、AP

48、.∵·＝9，∴

49、AB

50、

51、AP

52、cos45°＝

53、AP

54、2cos45°＝9，∴

55、AP

56、＝3.∵P(0,1)，∴

57、OP

58、＝1，

59、OA

60、＝2，即b＝2，且B(3,1)．∵B在椭圆上，∴＋＝1，得a2＝12，∴椭圆C的方程为