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1、智能优化训练1.双曲线的两焦点坐标是F1(3,0),F2(-3,0),2b=4,则双曲线的标准方程是( )A.-=1 B.-=1C.-=1D.-=1答案:A2.方程x=所表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分解析:选C.依题意:x≥0,方程可化为:3y2-x2=1,所以方程表示双曲线的一部分.故选C.3.已知双曲线的焦点在x轴上,且a+c=9,b=3,则它的标准方程是________.答案:-=14.根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)过点P,Q且焦点在坐标轴上;(2)c=,经过点(-5,2),焦点
2、在x轴上.解:(1)设双曲线方程为+=1(mn<0).∵P,Q两点在双曲线上,∴解得∴所求双曲线的方程为-=1.(2)∵焦点在x轴上,c=,∴设所求双曲线的方程为-=1(0<λ<6).∵双曲线过点(-5,2),∴-=1,解得λ=5或λ=30(舍去),∴所求双曲线的方程为-y2=1.一、选择题1.动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线解析:选D.由已知
3、PM
4、-
5、PN
6、=2=
7、MN
8、,所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线.2.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(
9、5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1(x≤-3)D.-=1(x≥3)解析:选D.由题意c=5,a=3,∴b=4.∴点P的轨迹方程是-=1(x≥3).3.(高考安徽卷)双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( )A.(,0)B.(,0)C.(,0)D.(,0)解析:选C.将双曲线方程化为标准形式x2-=1,所以a2=1,b2=,∴c==,∴右焦点坐标为(,0).故选C.4.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值是( )A.B.1或-2C.1或D.1解析:选D.依题意:解得a=1.故选D.
10、5.k>9是方程+=1表示双曲线的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件解析:选B.当k>9时,9-k<0,k-4>0,方程表示双曲线.当k<4时,9-k>0,k-4<0,方程也表示双曲线.∴k>9是方程+=1表示双曲线的充分不必要条件.6.双曲线-=1上一点P到点(5,0)的距离为15,那么该点到点(-5,0)的距离为( )A.7B.23C.5或25D.7或23解析:选D.(-5,0)和(5,0)都是双曲线的焦点,
11、
12、PF1
13、-
14、PF2
15、
16、=8,∴
17、PF1
18、=15+8或15-8,即7或23.二、填空题7.
19、过点(1,1)且=的双曲线的标准方程为________.答案:-y2=1或-x2=18.椭圆+=1和双曲线-=1有相同的焦点,则实数n的值是________.解析:因为双曲线-=1的焦点在x轴上,∴c2=n2+16,且椭圆+=1的焦点在x轴上,∴c2=34-n2,∴n2+16=34-n2,∴n2=9,∴n=±3.答案:±39.(高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1上一点M的横坐标是3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为________.解析:∵-=1,∴当x=3时,y=±.又∵F2(4,0),∴
20、AF2
21、=1,
22、MA
23、=,∴
24、MF2
25、
26、==4.故填4.答案:4三、解答题10.已知方程+=1表示的图形是:(1)双曲线;(2)椭圆;(3)圆.试分别求出k的取值范围.解:(1)方程表示双曲线需满足(2-k)(k-1)<0,解得k>2或k<1.即k的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞).(2)方程表示椭圆需满足解得1<k<2且k≠.即k的取值范围是(1,)∪(,2).(3)方程表示圆需有2-k=k-1>0,即k=.11.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P,求该双曲线的标准方程.解:已知双曲线-=1.据c2=a2+b2,得c2=a2+b2=16+9=25,∴c=5.设所求双曲线的标准方程
27、为-=1(a>0,b>0).依题意,c=5,∴b2=c2-a2=25-a2,故双曲线方程可写为-=1,点P在双曲线上,∴-=1.化简得,4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=.又当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,不合题意.∴所求双曲线标准方程是:x2-=1.12.如图所示,在△ABC中,已知
28、AB
29、=4,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.解:如图所示,以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0).由正弦定理,得si
30、nA=,sinB=,sinC=(R为△ABC外接圆半径).∵2sinA+sinC=2sinB,∴2a+c=2