高考数学等差等比数列的性质运用

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1、08高考数学等差数列等比数列的性质运用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.●难点磁场(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________.●案例探究［例1］已知函数f(x)=(x<－2).(1)求f(x)的反函数f-－1(x);(2)设a1=1,=－

2、f－-1(an)(n∈N*),求an;(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{

3、}为桥梁求an,不易突破.技巧与方法：(2)问由式子得=4,构造等差数列{},从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.解：(1)设y=,∵x<－2,∴x=－,即y=f－-1(x)=－(x>0)(2)∵，∴{}是公差为4的等差数列，∵a1=1,=+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=.(3)bn=Sn+1－Sn=an+12=,由bn<,得m>,设g(n)=,∵g(n)=在n∈N*上是减函数，∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*

4、有bn<成立.［例2］设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件，求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解.错解分析：题设条件

5、中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方.技巧与方法：突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可由函数解析式求最值.解法一：设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有化简得.设数列{lgan}前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)=nlga1+n(n－1)·

6、lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n可见，当n=时，Sn最大.而=5,故{lgan}的前5项和最大.解法二：接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg,∴数列{lgan}是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,∴n≤=5.5.由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大.●锦囊妙计1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便

7、的工具，应有意识去应用.2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)等比数列{an}的首项a1=－1,前n项和为Sn,若，则Sn等于()C.2D.－2二、填空题2.(★★★★)已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0

8、,则m的取值范围是_________.3.(★★★★)等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________.4.(★★★★)已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则=_________.三、解答题5.(★★★★★)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,