高考数学重点难点复习（40）：探索性问题

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1、探索性问题高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.●难点磁场1.（★★★★）已知三个向量a、b、c，其中每两个之间的夹角为1若｜a｜=3,｜b｜=2,｜c｜=1，则a用b、c表示为.2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？●案例探究

2、［例1］已知函数(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1)＞.（1）求函数f(x)的解析式；（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.错解分析：不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b；忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两

3、点的坐标关系列不出解.技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证.解：（1）∵f(x)是奇函数∴f(–x)=–f(x)，即∴–bx+c=–bx–c∴c=0∴f(x)=由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0，当x＞0时，f(x)＞0∴f(x)的最大值在x＞0时取得.∴x＞0时，当且仅当即时，f(x)有最大值∴=1,∴a=b2①又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2②把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2又b∈N,∴

4、b=1,a=1,∴f(x)=（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x02–2x0–1=0解之，得x0=1±,∴P点坐标为()或()进而相应Q点坐标为Q（）或Q().过P、Q的直线l的方程：x–4y–1=0即为所求.［例2］如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为，A、B为直线a上两定点，且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的

5、轨迹E；（2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）.命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C点位置需要一番分析.技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.解：（1）以直线b为x轴，以过A点且与b

6、直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，由题意，有｜CA｜=｜CM｜∴,化简，得x2=2py它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线.（2）由（1）得，直线C恰为轨迹E的准线.由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0,）是抛物线的焦点.∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点直线BF的方程为联立方程组得.即C点坐标为().此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜=.●锦囊妙计如果把一个数学问题看作是由

7、条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法：（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊.●歼灭难点训练一、选择题1.（★★★★）已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题，其中正确命题是()①α∥βl⊥m②α⊥βl∥m③l∥mα⊥β④l⊥mα∥β

8、A.①与②B.①与③C.②与④D.③与④2.（★★★★）某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票.现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票()A.7张B