高考数学重点难点复习(40):探索性问题

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1、探索性问题高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径,解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.●难点磁场1.(★★★★)已知三个向量a、b、c,其中每两个之间的夹角为1若|a|=3,|b|=2,|c|=1,则a用b、c表示为.2.(★★★★★)假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p,且各引擎是否有故障是独立的,如有至少50%的引擎能正常运行,飞机就可成功飞行,则对于多大的p而言,4引擎飞机比2引擎飞机更为安全?●案例探究

2、[例1]已知函数(a,c∈R,a>0,b是自然数)是奇函数,f(x)有最大值,且f(1)>.(1)求函数f(x)的解析式;(2)是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点,并且使得P、Q两点关于点(1,0)对称,若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.命题意图:本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力,属★★★★★级题目.知识依托:函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.错解分析:不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b;忽视b为自然数而导致求不出b的具体值;P、Q两

3、点的坐标关系列不出解.技巧与方法:充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目,注意在假设存在的条件下推理创新,若由此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定的结论,并加以论证.解:(1)∵f(x)是奇函数∴f(–x)=–f(x),即∴–bx+c=–bx–c∴c=0∴f(x)=由a>0,b是自然数得当x≤0时,f(x)≤0,当x>0时,f(x)>0∴f(x)的最大值在x>0时取得.∴x>0时,当且仅当即时,f(x)有最大值∴=1,∴a=b2①又f(1)>,∴>,∴5b>2a+2②把①代入②得2b2–5b+2<0解得<b<2又b∈N,∴

4、b=1,a=1,∴f(x)=(2)设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点,且P、Q关于点(1,0)对称,P(x0,y0)则Q(2–x0,–y0),∴,消去y0,得x02–2x0–1=0解之,得x0=1±,∴P点坐标为()或()进而相应Q点坐标为Q()或Q().过P、Q的直线l的方程:x–4y–1=0即为所求.[例2]如图,三条直线a、b、c两两平行,直线a、b间的距离为p,直线b、c间的距离为,A、B为直线a上两定点,且|AB|=2p,MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.(1)建立适当的平面直角坐标系,求△AMN的外心C的

5、轨迹E;(2)接上问,当△AMN的外心C在E上什么位置时,d+|BC|最小,最小值是多少?(其中d是外心C到直线c的距离).命题意图:本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托:求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.错解分析:①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键,如何建系是难点,②第二问中确定C点位置需要一番分析.技巧与方法:本题主要运用抛物线的性质,寻求点C所在位置,然后加以论证和计算,得出正确结论,是条件探索型题目.解:(1)以直线b为x轴,以过A点且与b

6、直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.设△AMN的外心为C(x,y),则有A(0,p)、M(x–p,0),N(x+p,0),由题意,有|CA|=|CM|∴,化简,得x2=2py它是以原点为顶点,y轴为对称轴,开口向上的抛物线.(2)由(1)得,直线C恰为轨迹E的准线.由抛物线的定义知d=|CF|,其中F(0,)是抛物线的焦点.∴d+|BC|=|CF|+|BC|由两点间直线段最短知,线段BF与轨迹E的交点即为所求的点直线BF的方程为联立方程组得.即C点坐标为().此时d+|BC|的最小值为|BF|=.●锦囊妙计如果把一个数学问题看作是由

7、条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统,那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.解决探索性问题,对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求,高考题中一般对这类问题有如下方法:(1)直接求解;(2)观察——猜测——证明;(3)赋值推断;(4)数形结合;(5)联想类比;(6)特殊——一般——特殊.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)已知直线l⊥平面α,直线m平面β,有下面四个命题,其中正确命题是()①α∥βl⊥m②α⊥βl∥m③l∥mα⊥β④l⊥mα∥β

8、A.①与②B.①与③C.②与④D.③与④2.(★★★★)某邮局只有0.60元,0.80元,1.10元的三种邮票.现有邮资为7.50元的邮件一件,为使粘贴邮票的张数最少,且资费恰为7.50元,则最少要购买邮票()A.7张B

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