高考数学探索性问题

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1、08高考数学探索性问题高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.●难点磁场1.（★★★★）已知三个向量a、b、c，其中每两个之间的夹角为1若｜a｜=3,｜b｜=2,｜c｜=1，则a用b、c表示为.2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？●案例探究［例1］已知函

2、数(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1)＞.（1）求函数f(x)的解析式；（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.错解分析：不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b；忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两点的坐标关系列不出解.技巧与方法：充分利用题

3、设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证.解：（1）∵f(x)是奇函数∴f(–x)=–f(x)，即∴–bx+c=–bx–c∴c=0∴f(x)=由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0，当x＞0时，f(x)＞0∴f(x)的最大值在x＞0时取得.∴x＞0时，当且仅当即时，f(x)有最大值∴=1,∴a=b2①又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2②把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P

4、、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x02–2x0–1=0解之，得x0=1±,∴P点坐标为()或()进而相应Q点坐标为Q（）或Q().过P、Q的直线l的方程：x–4y–1=0即为所求.［例2］如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为，A、B为直线a上两定点，且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E；（2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是

5、外心C到直线c的距离）.命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C点位置需要一番分析.技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.解：（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，由题意

6、，有｜CA｜=｜CM｜∴,化简，得x2=2py它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线.（2）由（1）得，直线C恰为轨迹E的准线.由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0,）是抛物线的焦点.∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点直线BF的方程为联立方程组得.即C点坐标为().此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜=.●锦囊妙计如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.解决探

7、索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法：（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊.●歼灭难点训练一、选择题1.（★★★★）已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题，其中正确命题是()①α∥βl⊥m②α⊥βl∥m③l∥mα⊥β④l⊥mα∥βA.①与②B.①与③C.②与④D.③与④2.（★★★★）某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票.现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.5

8、0元，则最少要购买邮票(