高考数学复习点拨 浅析曲线拟合问题

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1、浅析曲线拟合问题　　应用问题不仅具有题材贴近生活、题型功能丰富、涉及知识面广等特点，而且其应用性、创造性及开放性的特征明显.同时，应用问题对阅读理解能力、建模能力、分析问题与解决问题能力有较高要求.　　在解应用问题时应重视对信息、图表的分析、提取、加工和处理能力.在此，提出应用问题中的一类问题，即“曲线拟合”问题.　　在处理曲线拟合问题与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：　　（１）能够根据原始数据、表格，绘出散点图.　　（２）通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或曲线.　　（３）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数的关系式.　　（４）利用函数关系式时，根据条件对所

2、给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.　　例１　房屋造价（元/米）与建筑层数有关，可表示为一般造价（元/米）乘以层数系数.根据经验数据，绘出其关系如图1，其中2层到5层建筑，由于共用地基和层顶等原因，随层数增加沿抛物线下降，而5层到8层及以上则由于防震、防风等因素需增加成本，随层数增加而增加.　　（１）请根据所给图与表格建立随层数增加而改变的函数关系式，并将表中数据填齐：123456781.081.0311.081.171.26　　（２）某单位为建造楼房筹集资金100万元，用于支付房屋造价和土地使用权购置费，若一般造价为800元/米，土地属于内部转让，土地价为300元/亩（1亩＝60

3、00/9米），试利用（１）中条件求出最多能建房多少米（精确到1米）.解：（１）由题设，当时，的图象为抛物线，设，把（2，1.08），（3，1.03），（4，1）代入，得，　　解得，　　.又当时，观察图形猜测为一段直线，设，把，代入，得　　解得，，即，　　所求函数为将分别代入上式，均有．又由图上可查得时，，填入表中．（2）设所建楼房占地米，当时造价最低，，则总建筑面积为米，其总造价为．依题意，有，解得，即最多可建房1262米．例2某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良

4、好．为了使推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将采用什么方法？分析：首先建立直角坐标系，画出散点图（如图2所示），其次根据散点图，我们可以设想函数模型．可能为一次函数型：；二次函数型：；幂函数型：；指数函数型：，最后用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数．解：设月产量为万件，月份数为，建立直角坐标系，可得．（1）对于直线，将两点的坐标代入，有　解得，故．将两点的坐标代入，得，与实际误差为0.1；，与实际误差为0.03．（2）对于二次函数，将三点的坐标代入，有解得，故．将点的坐标代入，得，与实际误差为0.07．（3）对于幂函数型，将两点

5、的坐标代入，得解得，故．将两点的坐标代入，得，与实际误差为0.05；，与实际误差为0.11．（4）对于指数函数型，将三点的坐标代入，有解得．故．将点的坐标代入，得，与实际误差为0.02．比较上述4个模拟函数的优劣，既要考虑到与实际误差最小，又要考虑到生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性．所以可以认为最佳，一是误码差最小，二是由于新建厂，开始随着技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时间后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而恰好反映了这种趋势，因此选用比较接近客观实际．